Jika (ab)loga=n, maka blog(ab)= ...

1/(1-n)

Pembahasan

Pertanyaan ini berkaitan dengan sifat-sifat logaritma.
Diketahui:
(ab)loga = n

Kita ingin mencari nilai dari blog(ab).

Dari sifat logaritma, kita tahu bahwa logb(b) = 1.
Kita bisa menggunakan sifat perubahan basis logaritma: logc(a) = logb(a) / logb(c).

Mari kita ubah persamaan yang diketahui menggunakan sifat logaritma:
(ab)loga = n
log(a) / log(ab) = n

Kita perlu mencari blog(ab). Mari kita gunakan sifat logaritma lagi:

Jika kita memiliki log_b(x) = y, maka b^y = x.
Namun, dalam soal ini basisnya adalah (ab) dan argumennya adalah a.

Mari kita coba manipulasi persamaan yang diberikan: (ab)loga = n.
Ini berarti (ab)^n = a. Ini tidak terlihat benar karena basisnya adalah (ab) dan logaritmanya adalah 'a'.

Mari kita asumsikan bahwa yang dimaksud adalah logaritma dengan basis 'ab' dari 'a' adalah n. Jadi, log_{ab}(a) = n.

Dari definisi logaritma, jika log_b(x) = y maka b^y = x.
Jadi, dari log_{ab}(a) = n, kita dapatkan (ab)^n = a.

Sekarang kita ingin mencari nilai dari log_{b}(ab).
Misalkan log_{b}(ab) = x.
Maka, b^x = ab.

Mari kita kembali ke persamaan (ab)^n = a.
Kita bisa menulisnya sebagai a^n * b^n = a.
Bagi kedua sisi dengan 'a' (dengan asumsi a ≠ 0):
a^(n-1) * b^n = 1.

Ini masih belum mengarahkan kita pada bentuk log_{b}(ab).

Mari kita coba pendekatan lain. Gunakan sifat logaritma: log_b(xy) = log_b(x) + log_b(y).
Dan log_b(b) = 1.

Diketahui log_{ab}(a) = n.
Ini berarti a = (ab)^n.

Kita ingin mencari log_{b}(ab).
Misalkan log_{b}(ab) = y.
Maka, b^y = ab.

Substitusikan a dari persamaan pertama ke persamaan kedua:
b^y = ((ab)^n) * b
b^y = (a^n * b^n) * b
b^y = a^n * b^(n+1)

Ini juga terlihat rumit.

Mari kita perhatikan kembali soalnya. Jika (ab)loga = n.
Ini bisa diartikan sebagai: log_{ab}(a) = n.

Kita ingin mencari: log_{b}(ab).

Dari log_{ab}(a) = n, kita punya a = (ab)^n.

Kita cari log_{b}(ab).
Kita tahu bahwa log_{b}(ab) = log_{b}(a) + log_{b}(b) = log_{b}(a) + 1.

Jadi, kita perlu mencari log_{b}(a).

Dari a = (ab)^n, kita bisa mengambil logaritma basis b:
log_{b}(a) = log_{b}((ab)^n)
log_{b}(a) = n * log_{b}(ab)
log_{b}(a) = n * (log_{b}(a) + log_{b}(b))
log_{b}(a) = n * (log_{b}(a) + 1)
log_{b}(a) = n * log_{b}(a) + n

Sekarang, kita isolasi log_{b}(a):
log_{b}(a) - n * log_{b}(a) = n
log_{b}(a) * (1 - n) = n
log_{b}(a) = n / (1 - n)

Sekarang kita bisa mencari log_{b}(ab):
log_{b}(ab) = log_{b}(a) + 1
log_{b}(ab) = (n / (1 - n)) + 1
log_{b}(ab) = (n + (1 - n)) / (1 - n)
log_{b}(ab) = 1 / (1 - n)

Jadi, jika log_{ab}(a) = n, maka log_{b}(ab) = 1 / (1 - n).