Jika cos (a + b) = 4/5 dan sin (a - b)=5/13, dengan a dan b

56/33

Pembahasan

Diketahui:
cos (a + b) = 4/5
sin (a - b) = 5/13
0 < a < pi/4
0 < b < pi/4

Mencari nilai sin (a + b) dan cos (a - b):
Karena 0 < a < pi/4 dan 0 < b < pi/4, maka 0 < a + b < pi/2 dan -pi/4 < a - b < pi/4.

Untuk cos (a + b) = 4/5, sin (a + b) = sqrt(1 - (4/5)^2) = sqrt(1 - 16/25) = sqrt(9/25) = 3/5 (karena a+b di kuadran I, sin positif).
Untuk sin (a - b) = 5/13, cos (a - b) = sqrt(1 - (5/13)^2) = sqrt(1 - 25/169) = sqrt(144/169) = 12/13 (karena a-b bisa di kuadran I atau IV, tapi karena a dan b dekat 0, a-b cenderung positif, jadi cos positif).

Mencari tan (a + b) dan tan (a - b):
tan (a + b) = sin (a + b) / cos (a + b) = (3/5) / (4/5) = 3/4
tan (a - b) = sin (a - b) / cos (a - b) = (5/13) / (12/13) = 5/12

Mencari tan 2a:
Kita tahu bahwa 2a = (a + b) + (a - b)
tan 2a = tan ((a + b) + (a - b))
Dengan rumus tan(x + y) = (tan x + tan y) / (1 - tan x tan y):
tan 2a = (tan(a + b) + tan(a - b)) / (1 - tan(a + b) tan(a - b))
tan 2a = (3/4 + 5/12) / (1 - (3/4) * (5/12))
tan 2a = ((9 + 5)/12) / (1 - 15/48)
tan 2a = (14/12) / ((48 - 15)/48)
tan 2a = (7/6) / (33/48)
tan 2a = (7/6) * (48/33)
tan 2a = 7 * (8/33)
tan 2a = 56/33