Jika cot x=3 dan sudut x di kuadran III, = nilai dari sin

-3/sqrt(10)

Pembahasan

Diketahui $\cot x = 3$ dan sudut $x$ berada di kuadran III. Kita perlu mencari nilai dari $\sin(\frac{\pi}{2} - x)$.

Dalam trigonometri, kita memiliki identitas $\sin(\frac{\pi}{2} - x) = \cos x$.

Karena $\cot x = \frac{\cos x}{\sin x} = 3$, maka $\cos x = 3 \sin x$.

Kita juga tahu identitas dasar $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$.
Substitusikan $\cos x = 3 \sin x$ ke dalam identitas:
$\sin^2 x + (3 \sin x)^2 = 1$
$\sin^2 x + 9 \sin^2 x = 1$
$10 \sin^2 x = 1$
$\sin^2 x = \frac{1}{10}$
$\sin x = \pm \sqrt{\frac{1}{10}} = \pm \frac{1}{\sqrt{10}}$

Karena $x$ berada di kuadran III, nilai $\sin x$ adalah negatif. Jadi, $\sin x = -\frac{1}{\sqrt{10}}$.

Sekarang kita cari nilai $\cos x$ menggunakan $\cos x = 3 \sin x$:
$\cos x = 3 \left(-\frac{1}{\sqrt{10}}\right) = -\frac{3}{\sqrt{10}}$

Karena $x$ berada di kuadran III, nilai $\cos x$ juga negatif, yang sesuai dengan hasil ini.

Akhirnya, kita dapatkan nilai $\sin(\frac{\pi}{2} - x) = \cos x = -\frac{3}{\sqrt{10}}$.

Untuk merasionalkan penyebut:
$\cos x = -\frac{3}{\sqrt{10}} \times \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}} = -\frac{3\sqrt{10}}{10}$

Jadi, nilai dari $\sin(\frac{\pi}{2} - x)$ adalah $-\frac{3\sqrt{10}}{10}$.