lim x -> 1 (x^(2/3)-1)/(x x^(1/3)+x-x^(1/3)-1)=...

1/3

Pembahasan

Untuk menyelesaikan limit $\lim_{x \to 1} \frac{x^{2/3}-1}{x \cdot x^{1/3}+x-x^{1/3}-1}$, kita dapat melakukan faktorisasi pada penyebutnya terlebih dahulu.

Penyebut: $x \cdot x^{1/3}+x-x^{1/3}-1$
Kita bisa memfaktorkannya dengan mengelompokkan suku-suku:
$(x \cdot x^{1/3} - x^{1/3}) + (x - 1)$
$x^{1/3}(x - 1) + (x - 1)$
$(x^{1/3} + 1)(x - 1)$

Sekarang, perhatikan pembilang: $x^{2/3} - 1$. Ini adalah bentuk selisih kuadrat, di mana $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$. Jika kita anggap $a = x^{1/3}$, maka $a^2 = (x^{1/3})^2 = x^{2/3}$. Jadi,
$x^{2/3} - 1 = (x^{1/3})^2 - 1^2 = (x^{1/3} - 1)(x^{1/3} + 1)$.

Namun, cara faktorisasi pembilang di atas tidak tepat untuk menyederhanakan penyebut yang sudah difaktorkan. Mari kita coba faktorisasi pembilang $x^{2/3} - 1$ dengan cara lain yang lebih sesuai dengan penyebut $(x^{1/3} + 1)(x - 1)$.

Perhatikan kembali penyebutnya: $x \cdot x^{1/3}+x-x^{1/3}-1$. Kita bisa memfaktorkannya sebagai berikut:
$(x^{4/3} + x) - (x^{1/3} + 1) = x(x^{1/3} + 1) - (x^{1/3} + 1) = (x-1)(x^{1/3}+1)$. Ini adalah faktorisasi yang benar.

Sekarang mari kita substitusikan kembali ke dalam limit:
$\lim_{x \to 1} \frac{x^{2/3}-1}{(x-1)(x^{1/3}+1)}$

Jika kita substitusikan x=1, kita akan mendapatkan bentuk tak tentu 0/0.
Kita bisa menggunakan aturan L'Hopital atau melakukan manipulasi aljabar.

Menggunakan manipulasi aljabar:
Misalkan $y = x^{1/3}$. Maka saat $x 	o 1$, $y 	o 1$. Dan $x^{2/3} = y^2$, $x = y^3$.
Limit menjadi:
$\lim_{y \to 1} \frac{y^2-1}{(y^3-1)(y+1)}$

Faktorkan pembilang dan penyebut:
$\lim_{y \to 1} \frac{(y-1)(y+1)}{(y-1)(y^2+y+1)(y+1)}$

Batalkan suku yang sama:
$\lim_{y \to 1} \frac{1}{y^2+y+1}$

Substitusikan y=1:
$\frac{1}{1^2+1+1} = \frac{1}{3}$

Jadi, nilai limitnya adalah 1/3.