Penarikan kesimpulan dari (i) p v q ~ p maka q (ii) p => q

Semua penarikan kesimpulan (i), (ii), dan (iii) adalah sah.

Pembahasan

Untuk menentukan penarikan kesimpulan yang sah dari pernyataan-pernyataan logika yang diberikan, kita akan menganalisis setiap premis:

(i) $p \lor q$, $\neg p \implies q$
Penarikan kesimpulan dari premis $p \lor q$ dan $\neg p$ adalah $q$. Ini sesuai dengan aturan disjungtif silogisme. Jika salah satu dari dua proposisi benar ($p \lor q$) dan salah satu di antaranya salah ($\neg p$), maka yang lain pasti benar ($q$). Jadi, kesimpulan (i) sah.

(ii) $p \implies q$, $q \implies \neg r$. $\implies \neg r$
Penarikan kesimpulan dari premis $p \implies q$ dan $q \implies \neg r$ adalah $p \implies \neg r$. Ini sesuai dengan aturan silogisme hipotetik. Jika $p$ mengarah ke $q$, dan $q$ mengarah ke $\neg r$, maka $p$ mengarah ke $\neg r$. Jadi, kesimpulan (ii) sah.

(iii) $p \implies \neg q$, $q \lor r$. $\implies p \implies r$
Mari kita gunakan tabel kebenaran atau analisis logika:
Premis 1: $p \implies \neg q$ (ekuivalen dengan $\neg p \lor \neg q$)
Premis 2: $q \lor r$
Kesimpulan yang diajukan: $p \implies r$ (ekuivalen dengan $\neg p \lor r$)

Untuk menguji kesahihan, kita bisa mengasumsikan kesimpulan salah ($
eg (p \implies r)$, yaitu $p \land \neg r$) dan lihat apakah premis-premisnya tetap benar.
Jika $p$ benar dan $\neg r$ benar (maka $r$ salah):
Dari premis 1 ($p \implies \neg q$), jika $p$ benar, maka $\neg q$ harus benar, yang berarti $q$ salah.
Dari premis 2 ($q \lor r$), jika $q$ salah dan $r$ salah, maka $q \lor r$ adalah salah. Ini kontradiksi karena premis harus benar.
Oleh karena itu, tidak mungkin $p$ benar dan $\neg r$ benar sementara premis-premisnya benar. Jadi, $p \implies r$ adalah kesimpulan yang sah.

Alternatif lain untuk (iii):
Premis: $\neg p \lor \neg q$, $q \lor r$
Kita ingin menunjukkan: $\neg p \lor r$

Dari $\neg p \lor \neg q$ dan $q \lor r$, kita bisa menggunakan aturan resolusi. Jika kita punya $\neg A \lor B$ dan $A \lor C$, maka kesimpulannya adalah $B \lor C$. Ini tidak cocok langsung.
Namun, kita bisa melihatnya sebagai:
Premis 1: $p \implies \neg q$
Premis 2: $q \lor r$

Kita bisa menggunakan kontradiksi. Asumsikan $p$ benar dan $r$ salah.
Jika $p$ benar, dari premis 1, $\neg q$ benar, sehingga $q$ salah.
Jika $q$ salah dan $r$ salah, maka $q \lor r$ adalah salah. Ini bertentangan dengan premis 2 yang harus benar.
Jadi, asumsi $p$ benar dan $r$ salah pasti salah. Ini berarti $p \implies r$ harus benar.

Kesimpulan: Ketiga penarikan kesimpulan (i), (ii), dan (iii) adalah sah.