Jika f(x)=ax+3, a=/=0 dan f^(-1)(f^(-1)(9))=3, maka nilai

3

Pembahasan

Soal ini adalah soal fungsi invers dan komposisi fungsi.

Diketahui:
Fungsi f(x) = ax + 3, dengan a ≠ 0
Komposisi fungsi f^(-1)(f^(-1)(9)) = 3

Ditanya:
Nilai a² + a + 1

Langkah penyelesaian:
1. Cari fungsi invers f^(-1)(x):
Misalkan y = f(x) = ax + 3
Tukar x dan y: x = ay + 3
Ubah menjadi bentuk y: ay = x - 3  => y = (x - 3) / a
Jadi, f^(-1)(x) = (x - 3) / a

2. Gunakan informasi komposisi fungsi:
f^(-1)(f^(-1)(9)) = 3
Substitusikan f^(-1)(9) terlebih dahulu:
f^(-1)(9) = (9 - 3) / a = 6 / a

Sekarang substitusikan hasil ini ke f^(-1) lagi:
f^(-1)(6/a) = ((6/a) - 3) / a = 3
(6/a - 3a/a) / a = 3
((6 - 3a) / a) / a = 3
(6 - 3a) / a² = 3
6 - 3a = 3a²
3a² + 3a - 6 = 0
Bagi dengan 3: a² + a - 2 = 0
Faktorkan: (a + 2)(a - 1) = 0
Maka, nilai a adalah -2 atau 1.

Karena f(x) = ax + 3, jika a = 1, maka f(x) = x + 3 dan f^(-1)(x) = x - 3. Maka f^(-1)(f^(-1)(9)) = f^(-1)(9-3) = f^(-1)(6) = 6-3 = 3. Ini cocok.
Jika a = -2, maka f(x) = -2x + 3 dan f^(-1)(x) = (x-3)/(-2). Maka f^(-1)(f^(-1)(9)) = f^(-1)((9-3)/(-2)) = f^(-1)(-3) = (-3-3)/(-2) = -6/-2 = 3. Ini juga cocok.

3. Hitung nilai a² + a + 1:
Karena ada dua kemungkinan nilai a, kita akan cek keduanya:
Jika a = 1: a² + a + 1 = 1² + 1 + 1 = 1 + 1 + 1 = 3
Jika a = -2: a² + a + 1 = (-2)² + (-2) + 1 = 4 - 2 + 1 = 3

Dalam kedua kasus, nilai a² + a + 1 adalah 3.