Jika f(x)= x sin x/(sin x+cos x), dengan (sin x+cos x)=/=0,

Terbukti bahwa f'(x)(1+sin 2x)=x+sin x(sin x+cos x) dengan menggunakan aturan turunan hasil bagi dan identitas trigonometri.

Pembahasan

Untuk membuktikan identitas turunan f'(x)(1+sin 2x)=x+sin x(sin x+cos x) dari fungsi f(x)= x sin x/(sin x+cos x), kita perlu menghitung turunan f(x) terlebih dahulu menggunakan aturan hasil bagi.

Misalkan u = x sin x dan v = sin x + cos x.
Maka, u' = (1)sin x + x(cos x) = sin x + x cos x.
Dan, v' = cos x - sin x.

Menurut aturan hasil bagi, f'(x) = (u'v - uv') / v^2.
f'(x) = ((sin x + x cos x)(sin x + cos x) - (x sin x)(cos x - sin x)) / (sin x + cos x)^2

Sekarang, mari kita jabarkan bagian pembilangnya:
(sin x + x cos x)(sin x + cos x) = sin^2 x + sin x cos x + x cos x sin x + x cos^2 x
(x sin x)(cos x - sin x) = x sin x cos x - x sin^2 x

Jadi, pembilangnya adalah:
sin^2 x + sin x cos x + x cos x sin x + x cos^2 x - (x sin x cos x - x sin^2 x)
= sin^2 x + sin x cos x + x cos x sin x + x cos^2 x - x sin x cos x + x sin^2 x
= sin^2 x + x cos^2 x + x sin^2 x + sin x cos x
= sin^2 x + x(cos^2 x + sin^2 x) + sin x cos x
Karena sin^2 x + cos^2 x = 1, maka pembilangnya menjadi:
sin^2 x + x + sin x cos x

Sekarang kita perlu mengalikan f'(x) dengan (1+sin 2x).
Ingat bahwa sin 2x = 2 sin x cos x.
Maka, 1 + sin 2x = 1 + 2 sin x cos x.
Juga, (sin x + cos x)^2 = sin^2 x + 2 sin x cos x + cos^2 x = 1 + 2 sin x cos x = 1 + sin 2x.
Jadi, v^2 = (sin x + cos x)^2 = 1 + sin 2x.

Sekarang kita punya:
f'(x) = (sin^2 x + x + sin x cos x) / (1 + sin 2x)

Kalikan f'(x) dengan (1+sin 2x):
f'(x)(1+sin 2x) = [(sin^2 x + x + sin x cos x) / (1 + sin 2x)] * (1 + sin 2x)
f'(x)(1+sin 2x) = sin^2 x + x + sin x cos x

Kita perlu membuktikan bahwa ini sama dengan x + sin x(sin x + cos x).
Mari kita jabarkan x + sin x(sin x + cos x):
x + sin x(sin x + cos x) = x + sin^2 x + sin x cos x

Kedua ekspresi tersebut sama: sin^2 x + x + sin x cos x = x + sin^2 x + sin x cos x.
Jadi, terbukti bahwa f'(x)(1+sin 2x)=x+sin x(sin x+cos x).