Kelas 12Kelas 11mathKalkulus
Jika f(x)= x sin x/(sin x+cos x), dengan (sin x+cos x)=/=0,
Pertanyaan
Jika f(x)= x sin x/(sin x+cos x), dengan (sin x+cos x)=/=0, buktikan bahwa f'(x)(1+sin 2x)=x+sin x(sin x+cos x).
Solusi
Verified
Terbukti bahwa f'(x)(1+sin 2x)=x+sin x(sin x+cos x) dengan menggunakan aturan turunan hasil bagi dan identitas trigonometri.
Pembahasan
Untuk membuktikan identitas turunan f'(x)(1+sin 2x)=x+sin x(sin x+cos x) dari fungsi f(x)= x sin x/(sin x+cos x), kita perlu menghitung turunan f(x) terlebih dahulu menggunakan aturan hasil bagi. Misalkan u = x sin x dan v = sin x + cos x. Maka, u' = (1)sin x + x(cos x) = sin x + x cos x. Dan, v' = cos x - sin x. Menurut aturan hasil bagi, f'(x) = (u'v - uv') / v^2. f'(x) = ((sin x + x cos x)(sin x + cos x) - (x sin x)(cos x - sin x)) / (sin x + cos x)^2 Sekarang, mari kita jabarkan bagian pembilangnya: (sin x + x cos x)(sin x + cos x) = sin^2 x + sin x cos x + x cos x sin x + x cos^2 x (x sin x)(cos x - sin x) = x sin x cos x - x sin^2 x Jadi, pembilangnya adalah: sin^2 x + sin x cos x + x cos x sin x + x cos^2 x - (x sin x cos x - x sin^2 x) = sin^2 x + sin x cos x + x cos x sin x + x cos^2 x - x sin x cos x + x sin^2 x = sin^2 x + x cos^2 x + x sin^2 x + sin x cos x = sin^2 x + x(cos^2 x + sin^2 x) + sin x cos x Karena sin^2 x + cos^2 x = 1, maka pembilangnya menjadi: sin^2 x + x + sin x cos x Sekarang kita perlu mengalikan f'(x) dengan (1+sin 2x). Ingat bahwa sin 2x = 2 sin x cos x. Maka, 1 + sin 2x = 1 + 2 sin x cos x. Juga, (sin x + cos x)^2 = sin^2 x + 2 sin x cos x + cos^2 x = 1 + 2 sin x cos x = 1 + sin 2x. Jadi, v^2 = (sin x + cos x)^2 = 1 + sin 2x. Sekarang kita punya: f'(x) = (sin^2 x + x + sin x cos x) / (1 + sin 2x) Kalikan f'(x) dengan (1+sin 2x): f'(x)(1+sin 2x) = [(sin^2 x + x + sin x cos x) / (1 + sin 2x)] * (1 + sin 2x) f'(x)(1+sin 2x) = sin^2 x + x + sin x cos x Kita perlu membuktikan bahwa ini sama dengan x + sin x(sin x + cos x). Mari kita jabarkan x + sin x(sin x + cos x): x + sin x(sin x + cos x) = x + sin^2 x + sin x cos x Kedua ekspresi tersebut sama: sin^2 x + x + sin x cos x = x + sin^2 x + sin x cos x. Jadi, terbukti bahwa f'(x)(1+sin 2x)=x+sin x(sin x+cos x).
Buka akses pembahasan jawaban
Topik: Turunan
Section: Aturan Hasil Bagi, Identitas Trigonometri
Apakah jawaban ini membantu?