Jika fungsi objektif (sasaran) f(x,y)=x-2y dengan syarat:

20

Pembahasan

Untuk mencari nilai maksimum dan minimum dari fungsi objektif f(x,y) = x - 2y dengan kendala yang diberikan, kita perlu mencari titik-titik pojok dari daerah yang memenuhi kendala tersebut.

Kendala:
1. 2x + y ≤ 12
2. x + y ≥ 8
3. x ≥ 0
4. y ≥ 0

Langkah 1: Cari titik potong dari garis-garis kendala.

*   Titik potong 2x + y = 12 dan x + y = 8:
    Kurangi persamaan kedua dari persamaan pertama:
    (2x + y) - (x + y) = 12 - 8
    x = 4
    Substitusikan x = 4 ke x + y = 8:
    4 + y = 8
    y = 4
    Jadi, titik potongnya adalah (4, 4).

*   Titik potong 2x + y = 12 dengan sumbu x (y = 0):
    2x + 0 = 12
    x = 6
    Jadi, titik potongnya adalah (6, 0).

*   Titik potong x + y = 8 dengan sumbu y (x = 0):
    0 + y = 8
    y = 8
    Jadi, titik potongnya adalah (0, 8).

*   Titik potong 2x + y = 12 dengan sumbu y (x = 0):
    2(0) + y = 12
    y = 12
    Jadi, titik potongnya adalah (0, 12).

*   Titik potong x + y = 8 dengan sumbu x (y = 0):
    x + 0 = 8
    x = 8
    Jadi, titik potongnya adalah (8, 0).

Langkah 2: Tentukan titik-titik pojok yang memenuhi semua kendala.
Titik-titik pojok yang relevan adalah perpotongan garis-garis kendala di dalam atau pada batas daerah yang memenuhi:

*   Titik potong 2x + y = 12 dan x + y = 8 adalah (4, 4).
*   Titik potong 2x + y = 12 dengan sumbu x (y = 0) adalah (6, 0). Cek kendala lain: 6 + 0 = 6 < 8 (tidak memenuhi x+y>=8).
*   Titik potong x + y = 8 dengan sumbu y (x = 0) adalah (0, 8). Cek kendala lain: 2(0) + 8 = 8 <= 12 (memenuhi).
*   Titik potong 2x + y = 12 dengan sumbu y (x=0) adalah (0,12). Cek kendala lain: 0+12=12>=8 (memenuhi).
*   Titik potong x + y = 8 dengan sumbu x (y=0) adalah (8,0). Cek kendala lain: 2(8)+0 = 16 > 12 (tidak memenuhi 2x+y<=12).

Jadi, titik-titik pojok yang memenuhi semua kendala adalah:
*   (4, 4)
*   (0, 8)
*   (0, 12) - Namun, perhatikan bahwa garis 2x+y=12 dan x+y=8 berpotongan di (4,4). Dari kendala x+y>=8, titik (0,12) tidak memenuhi karena 0+12=12>=8. Cek kembali. Titik yang memenuhi adalah perpotongan dari 2x+y=12 dan x=0, yaitu (0,12) dan perpotongan x+y=8 dan y=0, yaitu (8,0).

Mari kita gambar ulang daerahnya:
Kendala: 2x+y <= 12, x+y >= 8, x >= 0, y >= 0.

Titik pojok yang memenuhi adalah:
1. Perpotongan x = 0 dan x + y = 8  => (0, 8)
2. Perpotongan x = 0 dan 2x + y = 12 => (0, 12)
3. Perpotongan 2x + y = 12 dan x + y = 8 => (4, 4)
4. Perpotongan y = 0 dan x + y = 8 => (8, 0)

Sekarang kita cek apakah titik-titik ini memenuhi semua kendala:
*   (0, 8): 2(0)+8=8<=12 (OK), 0+8=8>=8 (OK), 0>=0 (OK), 8>=0 (OK).
*   (0, 12): 2(0)+12=12<=12 (OK), 0+12=12>=8 (OK), 0>=0 (OK), 12>=0 (OK).
*   (4, 4): 2(4)+4=12<=12 (OK), 4+4=8>=8 (OK), 4>=0 (OK), 4>=0 (OK).
*   (8, 0): 2(8)+0=16>12 (TIDAK OK).

Jadi, titik-titik pojok yang sah adalah (0, 8), (0, 12), dan (4, 4).

Langkah 3: Substitusikan titik-titik pojok ke dalam fungsi objektif f(x,y) = x - 2y.

*   f(0, 8) = 0 - 2(8) = -16
*   f(0, 12) = 0 - 2(12) = -24
*   f(4, 4) = 4 - 2(4) = 4 - 8 = -4

Dari hasil di atas:
Nilai maksimum (A) = -4
Nilai minimum (B) = -24

Langkah 4: Hitung A - B.
A - B = -4 - (-24) = -4 + 24 = 20.

Jadi, nilai A - B sama dengan 20.