Kelas 11mathMatematika
Jika garis singgung parabola y=4x-x^2 di titik M(1,3) juga
Pertanyaan
Jika garis singgung parabola y=4x-x^2 di titik M(1,3) juga merupakan garis singgung parabola y=x^2-6x+k, maka nilai 2+akar(k-1) adalah....
Solusi
Verified
Nilai 2+akar(k-1) adalah 6.
Pembahasan
Diketahui dua parabola: 1) y = 4x - x^2 2) y = x^2 - 6x + k Titik singgung pada parabola pertama adalah M(1, 3). Mari kita cek apakah M(1,3) memang berada di parabola pertama: substitusi x=1 ke persamaan y = 4x - x^2 y = 4(1) - (1)^2 y = 4 - 1 y = 3 Jadi, titik M(1,3) memang berada di parabola pertama. Selanjutnya, kita cari gradien garis singgung pada parabola pertama di titik M(1,3). Turunan pertama dari y = 4x - x^2 adalah: y' = d/dx (4x - x^2) = 4 - 2x Gradien di titik M(1,3) adalah: m = y'(1) = 4 - 2(1) = 4 - 2 = 2. Karena garis singgung di M(1,3) pada parabola pertama juga merupakan garis singgung pada parabola kedua, maka gradien di titik singgung pada parabola kedua juga harus sama, yaitu m=2. Sekarang kita cari gradien garis singgung pada parabola kedua, y = x^2 - 6x + k. Turunan pertama dari y = x^2 - 6x + k adalah: y' = d/dx (x^2 - 6x + k) = 2x - 6. Karena gradiennya adalah 2, maka: 2x - 6 = 2 2x = 8 x = 4. Ini berarti titik singgung pada parabola kedua memiliki absis x=4. Karena M(1,3) adalah titik singgung bersama, maka M(1,3) harus berada di parabola kedua. Namun, soal menyatakan bahwa garis singgung di M(1,3) pada parabola pertama juga merupakan garis singgung pada parabola kedua. Ini berarti titik M(1,3) juga harus berada pada parabola kedua. Mari kita substitusikan titik M(1,3) ke persamaan parabola kedua y = x^2 - 6x + k: 3 = (1)^2 - 6(1) + k 3 = 1 - 6 + k 3 = -5 + k k = 3 + 5 k = 8. Sekarang kita perlu memverifikasi apakah gradien garis singgung di M(1,3) pada parabola kedua memang 2 jika k=8. Persamaan parabola kedua menjadi y = x^2 - 6x + 8. Turunannya adalah y' = 2x - 6. Gradien di M(1,3) adalah y'(1) = 2(1) - 6 = 2 - 6 = -4. Ada kontradiksi di sini. Mari kita baca kembali soalnya: "Jika garis singgung parabola y=4x-x^2 di titik M(1,3) juga merupakan garis singgung parabola y=x^2-6x+k". Ini berarti gradien di M(1,3) pada parabola pertama HARUS SAMA dengan gradien di M(1,3) pada parabola kedua. Gradien di M(1,3) pada parabola pertama (y = 4x - x^2) adalah m = 2. Sekarang, kita cari gradien di M(1,3) pada parabola kedua (y = x^2 - 6x + k). Turunan y = x^2 - 6x + k adalah y' = 2x - 6. Substitusikan x=1 ke y': m_kedua = 2(1) - 6 = 2 - 6 = -4. Karena gradien di M(1,3) pada parabola pertama adalah 2 dan pada parabola kedua adalah -4, ini berarti M(1,3) BUKAN titik singgung bersama, tetapi garis singgung di M(1,3) pada parabola pertama adalah garis yang SAMA dengan garis singgung di parabola kedua pada titik lain. Mari kita ulangi: Garis singgung di M(1,3) pada y=4x-x^2 memiliki gradien m=2. Persamaan garis singgung di M(1,3) adalah: y - y1 = m(x - x1) y - 3 = 2(x - 1) y - 3 = 2x - 2 y = 2x + 1. Sekarang, garis y = 2x + 1 ini juga merupakan garis singgung pada parabola y = x^2 - 6x + k. Artinya, garis y = 2x + 1 memotong parabola y = x^2 - 6x + k di satu titik (titik singgung). Untuk mencari titik potong, kita samakan kedua persamaan: 2x + 1 = x^2 - 6x + k x^2 - 6x - 2x + k - 1 = 0 x^2 - 8x + (k - 1) = 0. Agar garis menjadi garis singgung, diskriminan (D) dari persamaan kuadrat ini harus sama dengan nol (D=0). Diskriminan D = b^2 - 4ac. Dalam persamaan ini, a=1, b=-8, c=(k-1). D = (-8)^2 - 4(1)(k - 1) = 0 64 - 4(k - 1) = 0 64 - 4k + 4 = 0 68 - 4k = 0 4k = 68 k = 68 / 4 k = 17. Sekarang kita perlu mencari nilai 2 + akar(k-1). Kita sudah mendapatkan k=17. Maka, k-1 = 17 - 1 = 16. Akar(k-1) = akar(16) = 4. Jadi, nilai 2 + akar(k-1) adalah 2 + 4 = 6. Mari kita periksa gradien di titik singgung pada parabola kedua. Jika k=17, persamaan parabola kedua adalah y = x^2 - 6x + 17. Turunannya adalah y' = 2x - 6. Untuk mencari titik singgungnya, kita samakan turunan parabola kedua dengan gradien garis singgung (m=2): 2x - 6 = 2 2x = 8 x = 4. Jadi, titik singgung pada parabola kedua adalah ketika x=4. Mari kita cari nilai y pada parabola kedua: y = (4)^2 - 6(4) + 17 y = 16 - 24 + 17 y = -8 + 17 y = 9. Titik singgung pada parabola kedua adalah (4,9). Gradiennya memang 2. Garis singgung di M(1,3) pada parabola pertama (y = 4x - x^2) adalah y = 2x + 1. Jika kita substitusikan (4,9) ke garis y=2x+1: 9 = 2(4) + 1 9 = 8 + 1 9 = 9. Cocok. Jadi, nilai k yang memenuhi adalah 17. Nilai yang ditanyakan adalah 2 + akar(k-1) = 2 + akar(17-1) = 2 + akar(16) = 2 + 4 = 6.
Buka akses pembahasan jawaban
Topik: Kalkulus
Section: Garis Singgung Kurva
Apakah jawaban ini membantu?