Jika p = (x^(3/2) + x^(1/2))(x^(1/3) - x^(-1/3)) dan q =

p/q = x^(1/3)

Pembahasan

Untuk mencari $\frac{p}{q}$, kita perlu menyederhanakan ekspresi $p$ dan $q$ terlebih dahulu.

$p = (x^{3/2} + x^{1/2})(x^{1/3} - x^{-1/3})$
Kita bisa memfaktorkan $x^{1/2}$ dari suku pertama:
$p = x^{1/2}(x^1 + 1)(x^{1/3} - x^{-1/3})$
$p = x^{1/2}(x+1)(x^{1/3} - x^{-1/3})$

Mari kita coba ekspansi langsung untuk $p$:
$p = x^{3/2} \cdot x^{1/3} - x^{3/2} \cdot x^{-1/3} + x^{1/2} \cdot x^{1/3} - x^{1/2} \cdot x^{-1/3}$
$p = x^{3/2 + 1/3} - x^{3/2 - 1/3} + x^{1/2 + 1/3} - x^{1/2 - 1/3}$
$p = x^{11/6} - x^{7/6} + x^{5/6} - x^{1/6}$

$q = (x^{1/2} + x^{-1/2})(x - x^{1/3})$
Mari kita ekspansi $q$:
$q = x^{1/2} \cdot x - x^{1/2} \cdot x^{1/3} + x^{-1/2} \cdot x - x^{-1/2} \cdot x^{1/3}$
$q = x^{3/2} - x^{1/2 + 1/3} + x^{-1/2 + 1} - x^{-1/2 + 1/3}$
$q = x^{3/2} - x^{5/6} + x^{1/2} - x^{-1/6}$

Ini terlihat rumit. Mari kita coba pendekatan lain dengan memfaktorkan.

$p = x^{1/2}(x+1) \cdot x^{-1/3}(x^{2/3} - 1)$ ??? Ini juga tidak membantu.

Mari kita coba faktorkan suku yang sama dari $p$:
$p = x^{1/2} (x + 1) (x^{1/3} - x^{-1/3})$
$p = x^{1/2} (x + 1) x^{-1/3} (x^{2/3} - 1)$ ???

Mari kita kembali ke ekspansi $p$ dan $q$:
$p = x^{11/6} - x^{7/6} + x^{5/6} - x^{1/6}$
$q = x^{3/2} - x^{5/6} + x^{1/2} - x^{-1/6}$

Ini masih belum menunjukkan hubungan yang jelas.

Mari kita perhatikan suku-suku dalam $p$ dan $q$:
$p$: suku dengan pangkat $3/2$, $1/2$, $1/3$, $-1/3$.
$q$: suku dengan pangkat $1/2$, $-1/2$, $1$, $1/3$.

Kita bisa menulis ulang $p$ sebagai:
$p = x^{1/2} (x+1) 	imes x^{-1/3} (x^{2/3}-1)$ ???

Coba faktorkan dari $p$ dan $q$ dengan cara yang berbeda:
$p = x^{1/2} (x+1) (x^{1/3} - x^{-1/3})$
$p = x^{1/2} (x+1) x^{-1/3} (x^{2/3} - 1)$

$q = x^{-1/2} (x^{3/2} + 1) x^{1/3} (x^{2/3} - 1)$ ???

Mari kita ekspansi $p$ lagi:
$p = x^{3/2}x^{1/3} - x^{3/2}x^{-1/3} + x^{1/2}x^{1/3} - x^{1/2}x^{-1/3}$
$p = x^{11/6} - x^{7/6} + x^{5/6} - x^{1/6}$

Ekspansi $q$ lagi:
$q = x^{1/2}x - x^{1/2}x^{1/3} + x^{-1/2}x - x^{-1/2}x^{1/3}$
$q = x^{3/2} - x^{5/6} + x^{1/2} - x^{-1/6}$

Perhatikan bahwa $x^{3/2} = x^{9/6}$.
$p = x^{11/6} - x^{7/6} + x^{5/6} - x^{1/6}$
$q = x^{9/6} - x^{5/6} + x^{3/6} - x^{-1/6}$

Mari kita coba faktorkan $x^{1/6}$ dari $p$ dan $q$.
$p = x^{1/6} (x^{10/6} - x^{6/6} + x^{4/6} - 1) = x^{1/6} (x^{5/3} - x - x^{2/3} - 1)$?

Mari kita coba manipulasi $p$ dan $q$ secara langsung:
$p = (x \sqrt{x} + \sqrt{x})(\sqrt[3]{x} - \frac{1}{\sqrt[3]{x}})$ 
$p = \sqrt{x}(x+1) \frac{x^{2/3}-1}{x^{1/3}}$
$p = \sqrt{x}(x+1) \frac{(x^{1/3}-1)(x^{1/3}+1)}{x^{1/3}}$

$q = (\sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}})(x - \sqrt[3]{x})$
$q = \frac{x+1}{\sqrt{x}} (x - \sqrt[3]{x})$

$\frac{p}{q} = \frac{\sqrt{x}(x+1) \frac{x^{2/3}-1}{x^{1/3}}}{\frac{x+1}{\sqrt{x}} (x - \sqrt[3]{x})}$
$\frac{p}{q} = \frac{\sqrt{x}(x+1)(x^{2/3}-1)}{x^{1/3}} \times \frac{\sqrt{x}}{(x+1)(x - x^{1/3})}$
$\frac{p}{q} = \frac{x(x^{2/3}-1)}{x^{1/3}(x - x^{1/3})}$
$\frac{p}{q} = \frac{x(x^{2/3}-1)}{x^{4/3} - x^{1/3}}$
$\frac{p}{q} = \frac{x^{1}x^{2/3} - x}{x^{4/3} - x^{1/3}}$
$\frac{p}{q} = \frac{x^{5/3} - x}{x^{4/3} - x^{1/3}}$

Ini masih belum terlihat sederhana.

Mari kita coba ekspansi $p$ dan $q$ sekali lagi, hati-hati dengan pangkatnya:
$p = (x^{3/2} + x^{1/2})(x^{1/3} - x^{-1/3})$
$p = x^{3/2}x^{1/3} - x^{3/2}x^{-1/3} + x^{1/2}x^{1/3} - x^{1/2}x^{-1/3}$
$p = x^{9/6+2/6} - x^{9/6-2/6} + x^{3/6+2/6} - x^{3/6-2/6}$
$p = x^{11/6} - x^{7/6} + x^{5/6} - x^{1/6}$

$q = (x^{1/2} + x^{-1/2})(x - x^{1/3})$
$q = x^{1/2}x - x^{1/2}x^{1/3} + x^{-1/2}x - x^{-1/2}x^{1/3}$
$q = x^{1/2+1} - x^{1/2+1/3} + x^{-1/2+1} - x^{-1/2+1/3}$
$q = x^{3/2} - x^{3/6+2/6} + x^{1/2} - x^{-3/6+2/6}$
$q = x^{9/6} - x^{5/6} + x^{3/6} - x^{-1/6}$

Mari kita coba faktorkan $p$ sebagai berikut:
$p = x^{1/2}(x+1) x^{-1/3}(x^{2/3}-1)$
$p = x^{1/2 - 1/3} (x+1)(x^{2/3}-1)$
$p = x^{1/6} (x+1)(x^{2/3}-1)$

Mari kita faktorkan $q$ sebagai berikut:
$q = x^{-1/2}(x^{3/2}+1) x^{1/3}(x^{2/3}-1)$ ??? Tidak, ini salah.

$q = x^{-1/2}(x^{3/2}+1)(x-x^{1/3})$
$q = x^{-1/2}(x^{3/2}+1)x^{1/3}(x^{2/3}-1)$ ??? Juga salah.

Mari kita coba faktorkan $p$ dan $q$ dengan cara yang berbeda.
$p = x^{1/2} (x+1) (x^{1/3} - x^{-1/3})$
$q = x^{-1/2} (x^{3/2}+1) (x - x^{1/3})$ ??? Ini juga salah.

Mari kita kembali ke bentuk ekspansi:
$p = x^{11/6} - x^{7/6} + x^{5/6} - x^{1/6}$
$q = x^{9/6} - x^{5/6} + x^{3/6} - x^{-1/6}$

Mari kita coba faktorkan $x^{1/6}$ dari $p$:
$p = x^{1/6} (x^{10/6} - x^{6/6} + x^{4/6} - 1)$
$p = x^{1/6} (x^{5/3} - x + x^{2/3} - 1)$

Mari kita coba faktorkan $x^{-1/6}$ dari $q$:
$q = x^{-1/6} (x^{10/6} - x^{6/6} + x^{4/6} - x^{0/6})$
$q = x^{-1/6} (x^{5/3} - x + x^{2/3} - 1)$

Perhatikan bahwa ekspresi di dalam kurung sama untuk $p$ dan $q$ setelah faktorisasi yang tepat.

$p = x^{1/2} (x+1) x^{-1/3} (x^{2/3} - 1)$
$p = x^{1/6} (x+1) (x^{2/3} - 1)$

$q = x^{-1/2} (x^{3/2}+1) (x - x^{1/3})$
$q = x^{-1/2} (x^{3/2}+1) x^{1/3} (x^{2/3}-1)$
$q = x^{-1/6} (x^{3/2}+1) (x^{2/3}-1)$

Jadi,
$\frac{p}{q} = \frac{x^{1/6} (x+1) (x^{2/3} - 1)}{x^{-1/6} (x^{3/2}+1) (x^{2/3}-1)}$
$\frac{p}{q} = \frac{x^{1/6} (x+1)}{x^{-1/6} (x^{3/2}+1)}$
$\frac{p}{q} = x^{1/6 - (-1/6)} \frac{x+1}{x^{3/2}+1}$
$\frac{p}{q} = x^{2/6} \frac{x+1}{x^{3/2}+1}$
$\frac{p}{q} = x^{1/3} \frac{x+1}{x^{3/2}+1}$

Perhatikan bahwa $x+1$ tidak sama dengan $x^{3/2}+1$. Terdapat kesalahan dalam faktorisasi atau pemahaman soal.

Mari kita coba kembali dengan ekspansi $p$ dan $q$ dan cari hubungan.

$p = x^{11/6} - x^{7/6} + x^{5/6} - x^{1/6}$
$q = x^{9/6} - x^{5/6} + x^{3/6} - x^{-1/6}$

Jika kita kalikan $q$ dengan $x^{2/6} = x^{1/3}$: 
$q \cdot x^{1/3} = (x^{9/6} - x^{5/6} + x^{3/6} - x^{-1/6}) x^{2/6}$
$q \cdot x^{1/3} = x^{11/6} - x^{7/6} + x^{5/6} - x^{1/6}$

Perhatikan bahwa hasil perkalian $q \cdot x^{1/3}$ sama persis dengan $p$!

Jadi, $p = q \cdot x^{1/3}$.

Maka, $\frac{p}{q} = x^{1/3}$.