Jika sin (A+ B) cos C = 2 sin A cos (B-C), tunjukkan bahwa:

Identitas terbukti dengan memanipulasi persamaan awal menggunakan identitas penjumlahan dan pengurangan sinus dan kosinus, serta identitas tan C.

Pembahasan

Kita diberikan persamaan trigonometri: sin (A+ B) cos C = 2 sin A cos (B-C).
Kita perlu menunjukkan bahwa tan C = (sin (B - A))/(2 sin A sin B).

Mari kita ekspansi kedua sisi persamaan yang diberikan:
sin (A+B) = sin A cos B + cos A sin B
cos (B-C) = cos B cos C + sin B sin C
sin (A+B) cos C = (sin A cos B + cos A sin B) cos C
2 sin A cos (B-C) = 2 sin A (cos B cos C + sin B sin C)

Jadi, persamaan menjadi:
(sin A cos B + cos A sin B) cos C = 2 sin A cos B cos C + 2 sin A sin B sin C

sin A cos B cos C + cos A sin B cos C = 2 sin A cos B cos C + 2 sin A sin B sin C

Pindahkan semua suku ke satu sisi:
cos A sin B cos C - sin A cos B cos C - 2 sin A sin B sin C = 0

sin B cos C (cos A - sin A) - 2 sin A sin B sin C = 0

Ini terlihat rumit. Mari kita coba manipulasi persamaan target untuk melihat apakah kita bisa mendapatkan persamaan awal.

tan C = sin C / cos C
sin C / cos C = (sin (B - A))/(2 sin A sin B)
2 sin A sin B sin C = cos C sin (B - A)
2 sin A sin B sin C = cos C (sin B cos A - cos B sin A)

Sekarang mari kita kembali ke persamaan awal dan coba membaginya dengan cos C, lalu coba memanipulasinya.

sin (A+B) cos C = 2 sin A cos (B-C)

Bagi kedua sisi dengan cos C (asumsikan cos C != 0):
sin (A+B) = 2 sin A (cos (B-C) / cos C)

Ini juga tidak langsung mengarah.

Mari kita gunakan identitas:
sin(A+B) = sin A cos B + cos A sin B
cos(B-C) = cos B cos C + sin B sin C

Persamaan awal: sin(A+B)cosC = 2sinAcos(B-C)
(sin A cos B + cos A sin B)cos C = 2sinA(cos B cos C + sin B sin C)
sin A cos B cos C + cos A sin B cos C = 2sinA cos B cos C + 2sinA sin B sin C

Pindahkan semua suku ke sisi kanan:
0 = 2sinA cos B cos C - sin A cos B cos C - cos A sin B cos C + 2sinA sin B sin C
0 = sin A cos B cos C - cos A sin B cos C + 2sinA sin B sin C
0 = cos C (sin A cos B - cos A sin B) + 2sinA sin B sin C
0 = cos C sin (A - B) + 2sinA sin B sin C

Kita ingin membuktikan tan C = (sin (B - A))/(2 sin A sin B)
Ini setara dengan:
2 sin A sin B tan C = sin (B - A)
2 sin A sin B (sin C / cos C) = sin B cos A - cos B sin A

Mari kita kembali ke:
cos C sin (A - B) + 2sinA sin B sin C = 0

Kita tahu sin(A-B) = -sin(B-A).
Jadi, -cos C sin (B - A) + 2sinA sin B sin C = 0
2sinA sin B sin C = cos C sin (B - A)

Bagi kedua sisi dengan (2 sin A sin B cos C) (asumsikan tidak nol):
(2sinA sin B sin C) / (2 sin A sin B cos C) = (cos C sin (B - A)) / (2 sin A sin B cos C)

sin C / cos C = sin (B - A) / (2 sin A sin B)

tan C = sin (B - A) / (2 sin A sin B)

Ini membuktikan identitas yang diminta.