Jika sin x=k maka (1-tan^2 x)/(1+tan ^2 x)=...

1 - 2k^2

Pembahasan

Diberikan sin x = k. Kita perlu mencari nilai dari (1 - tan^2 x) / (1 + tan^2 x).

Kita tahu identitas trigonometri berikut:
1. tan x = sin x / cos x
2. tan^2 x = sin^2 x / cos^2 x
3. sin^2 x + cos^2 x = 1  => cos^2 x = 1 - sin^2 x
4. 1 + tan^2 x = sec^2 x = 1 / cos^2 x

Mari kita substitusikan identitas-identitas ini ke dalam ekspresi yang diberikan:

Ekspresi: (1 - tan^2 x) / (1 + tan^2 x)

Gunakan identitas (4) untuk penyebut: 1 + tan^2 x = 1 / cos^2 x

Sekarang, mari kita ubah pembilang (1 - tan^2 x) menggunakan tan x = sin x / cos x:
1 - tan^2 x = 1 - (sin^2 x / cos^2 x)
= (cos^2 x - sin^2 x) / cos^2 x

Sekarang substitusikan kembali ke ekspresi awal:
= [(cos^2 x - sin^2 x) / cos^2 x] / [1 / cos^2 x]

Kita bisa mengalikan dengan kebalikan dari penyebut:
= [(cos^2 x - sin^2 x) / cos^2 x] * [cos^2 x / 1]

Batalkan cos^2 x:
= cos^2 x - sin^2 x

Ini adalah identitas untuk cos(2x). Namun, kita perlu menyatakannya dalam bentuk k, di mana sin x = k.

Kita tahu cos^2 x = 1 - sin^2 x.
Ganti sin x dengan k:
cos^2 x = 1 - k^2

Sekarang substitusikan nilai sin^2 x dan cos^2 x ke dalam ekspresi cos^2 x - sin^2 x:
cos^2 x - sin^2 x = (1 - sin^2 x) - sin^2 x
= 1 - 2 sin^2 x

Ganti sin x dengan k:
= 1 - 2k^2

Jadi, jika sin x = k, maka (1 - tan^2 x) / (1 + tan^2 x) = 1 - 2k^2.