Tentukan rumus fungsi f(x) jika f(x) fungsi berderajat 3

f(x) = 5x^3 + 23x^2 + 20x - 12

Pembahasan

Untuk menentukan rumus fungsi f(x) yang berderajat 3, kita perlu menganalisis kedua kondisi limit yang diberikan.

Kondisi 1: lim x->-2 f(x)/(2x+4)=-6
Karena pembagian tersebut menghasilkan nilai -6 (bukan tak tentu atau tak terhingga), maka f(x) harus memiliki faktor (2x+4) atau (x+2) agar penyebutnya menjadi nol saat x=-2, dan pembilangnya juga nol saat x=-2.
Jadi, f(-2) = 0. Ini berarti (x+2) adalah salah satu faktor dari f(x).
Mari kita tulis f(x) = (x+2) * g(x), di mana g(x) adalah fungsi berderajat 2.
lim x->-2 [ (x+2) * g(x) ] / (2(x+2)) = -6
lim x->-2 g(x) / 2 = -6
g(x) / 2 = -6
g(x) = -12
Karena g(x) adalah fungsi berderajat 2, dan hasil limitnya adalah konstanta, maka g(x) haruslah sebuah konstanta. Ini bertentangan dengan asumsi bahwa f(x) berderajat 3. Terdapat kekeliruan dalam interpretasi awal bahwa g(x) harus berderajat 2.
Mari kita coba pendekatan lain. Karena lim x->-2 f(x)/(2x+4) = -6, maka f(x) haruslah berbentuk f(x) = -6(2x+4) + R(x), di mana R(x) adalah remainder. Namun, karena hasil limitnya terhingga, maka f(x) haruslah habis dibagi oleh (2x+4) atau memiliki bentuk yang membuat penyebut menjadi nol di x=-2. 

Jika f(x) berderajat 3, kita bisa tulis f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d.
Dari lim x->-2 f(x)/(2x+4) = -6, karena penyebutnya adalah 2(x+2), maka f(-2) = 0. Ini berarti (x+2) adalah faktor dari f(x).
Kita bisa tulis f(x) = (x+2) Q(x), di mana Q(x) adalah fungsi berderajat 2.
lim x->-2 [ (x+2) Q(x) ] / [2(x+2)] = -6
lim x->-2 Q(x) / 2 = -6
Q(-2) = -12
Jadi, Q(x) adalah fungsi kuadrat yang jika disubstitusikan x=-2 hasilnya adalah -12.

Kondisi 2: lim x->-3 2 f(x)/(x+3) = 34
Sama seperti sebelumnya, agar limit ini bernilai terhingga, maka f(-3) = 0. Ini berarti (x+3) adalah faktor dari f(x).
Karena f(x) berderajat 3 dan memiliki faktor (x+2) dan (x+3), maka f(x) dapat ditulis sebagai:
f(x) = k(x+2)(x+3)(x-r), di mana k dan r adalah konstanta.

Sekarang kita gunakan kembali kondisi pertama dengan bentuk f(x) ini:
lim x->-2 [ k(x+2)(x+3)(x-r) ] / [2(x+2)] = -6
lim x->-2 [ k(x+3)(x-r) ] / 2 = -6
k(-2+3)(-2-r) / 2 = -6
k(1)(-2-r) = -12
-2k - kr = -12
2k + kr = 12 (Persamaan 1)

Sekarang gunakan kondisi kedua:
lim x->-3 [ 2 * k(x+2)(x+3)(x-r) ] / (x+3) = 34
lim x->-3 [ 2k(x+2)(x-r) ] = 34
2k(-3+2)(-3-r) = 34
2k(-1)(-3-r) = 34
-2k(-3-r) = 34
2k(3+r) = 34
k(3+r) = 17
3k + kr = 17 (Persamaan 2)

Sekarang kita punya sistem persamaan:
1) 2k + kr = 12
2) 3k + kr = 17

Kurangkan Persamaan 1 dari Persamaan 2:
(3k + kr) - (2k + kr) = 17 - 12
k = 5

Substitusikan nilai k ke Persamaan 1:
2(5) + 5r = 12
10 + 5r = 12
5r = 2
r = 2/5

Maka, rumus fungsi f(x) adalah:
f(x) = 5(x+2)(x+3)(x - 2/5)
Untuk mendapatkan bentuk polinomial:
f(x) = 5(x^2 + 5x + 6)(x - 2/5)
f(x) = 5 [ x(x^2 + 5x + 6) - 2/5(x^2 + 5x + 6) ]
f(x) = 5 [ x^3 + 5x^2 + 6x - 2/5x^2 - 2x - 12/5 ]
f(x) = 5 [ x^3 + (5 - 2/5)x^2 + (6-2)x - 12/5 ]
f(x) = 5 [ x^3 + (25/5 - 2/5)x^2 + 4x - 12/5 ]
f(x) = 5 [ x^3 + 23/5x^2 + 4x - 12/5 ]
f(x) = 5x^3 + 23x^2 + 20x - 12