Jika sudut antara vektor a=i+akar(2)j+p k dan vektor

p = ± akar(5).

Pembahasan

Diketahui vektor a = i + akar(2)j + p k dan vektor b = i - akar(2)j + p k. Sudut antara kedua vektor adalah 60 derajat.

Rumus untuk mencari sudut antara dua vektor menggunakan perkalian titik (dot product) adalah:
cos(theta) = (a . b) / (|a| * |b|)

Di mana:
a . b adalah perkalian titik antara vektor a dan b.
|a| adalah besar (magnitudo) vektor a.
|b| adalah besar (magnitudo) vektor b.
theta adalah sudut antara vektor a dan b.

Langkah 1: Hitung perkalian titik a . b
a . b = (1 * 1) + (akar(2) * -akar(2)) + (p * p)
a . b = 1 + (-2) + p^2
a . b = p^2 - 1

Langkah 2: Hitung besar vektor |a|
|a| = sqrt(1^2 + (akar(2))^2 + p^2)
|a| = sqrt(1 + 2 + p^2)
|a| = sqrt(3 + p^2)

Langkah 3: Hitung besar vektor |b|
|b| = sqrt(1^2 + (-akar(2))^2 + p^2)
|b| = sqrt(1 + 2 + p^2)
|b| = sqrt(3 + p^2)

Langkah 4: Substitusikan ke dalam rumus cos(theta)
cos(60 derajat) = (p^2 - 1) / (sqrt(3 + p^2) * sqrt(3 + p^2))
1/2 = (p^2 - 1) / (3 + p^2)

Langkah 5: Selesaikan persamaan untuk mencari nilai p
1/2 = (p^2 - 1) / (3 + p^2)
1 * (3 + p^2) = 2 * (p^2 - 1)
3 + p^2 = 2p^2 - 2
3 + 2 = 2p^2 - p^2
5 = p^2
p = ± sqrt(5)

Namun, perlu diperhatikan bahwa dalam konteks soal ini, p biasanya diasumsikan sebagai nilai positif, atau kita harus memeriksa kedua solusi. Jika tidak ada batasan tambahan pada p, kedua nilai tersebut valid secara matematis. Dalam banyak kasus fisika atau geometri, nilai p akan merujuk pada sebuah komponen atau dimensi yang positif. Jika kita mengasumsikan p adalah komponen yang positif, maka p = sqrt(5).

Jadi, jika sudut antara vektor a dan b adalah 60 derajat, maka p = ± akar(5). Jika p harus positif, maka p = akar(5).