Jika suku banyak x^3+ax+b habis dibagi oleh x^2+x+1, maka

-1

Pembahasan

Jika suku banyak $P(x) = x^3 + ax + b$ habis dibagi oleh $x^2 + x + 1$, maka akar-akar dari $x^2 + x + 1 = 0$ juga merupakan akar-akar dari $P(x)$. Akar-akar dari $x^2 + x + 1 = 0$ adalah $\omega$ dan $\omega^2$, di mana $\omega$ adalah akar primitif ketiga dari kesatuan. Kita tahu bahwa $\omega^3 = 1$ dan $1 + \omega + \omega^2 = 0$. Karena $P(x)$ habis dibagi $x^2 + x + 1$, maka $P(\omega) = 0$.\n$P(\omega) = \omega^3 + a\omega + b = 0$\nKarena $\omega^3 = 1$, maka $1 + a\omega + b = 0$.\nKarena $1 + \omega + \omega^2 = 0$, maka $\omega = -1 - \omega^2$. Mengganti $\omega$ ke dalam persamaan $1 + a\omega + b = 0$: \n$1 + a(-1 - \omega^2) + b = 0$\n$1 - a - a\omega^2 + b = 0$\nKarena $1 + a\omega + b = 0$ dan $\omega^2 = -1 - \omega$, maka $1 + a\omega + b = 0$. Jika kita menganggap $1, \omega$ sebagai basis, maka koefisien dari $1$ dan $\omega$ harus nol.\n$1 + b + a\omega = 0$.\nIni berarti $1+b = 0$ dan $a = 0$.\nDari $1+b = 0$, kita dapatkan $b = -1$.\nDari $a = 0$, kita dapatkan $a = 0$.\nMaka, $a+b = 0 + (-1) = -1$.