Kelas 11mathTrigonometri
Jika tan 25 = a, nilai dari (tan 155 - tan 115)/(1 + tan
Pertanyaan
Jika diketahui tan 25° = a, tentukan nilai dari ekspresi (tan 155° - tan 115°) / (1 + tan 155° · tan 115°).
Solusi
Verified
Nilai ekspresi tersebut adalah (1 - a^2) / (2a).
Pembahasan
Pertanyaan ini meminta kita untuk menghitung nilai dari ekspresi trigonometri $(tan 155^\circ - tan 115^\circ) / (1 + tan 155^\circ \cdot tan 115^\circ)$, dengan diketahui bahwa tan 25^\circ = a. Ekspresi yang diberikan memiliki bentuk yang sangat mirip dengan rumus penjumlahan atau pengurangan tangen: Rumus pengurangan tangen: $\tan(A - B) = \frac{\tan A - \tan B}{1 + \tan A \cdot \tan B}$ Jika kita bandingkan ekspresi kita dengan rumus ini, kita dapat mengidentifikasi: A = 155^\circ B = 115^\circ Maka, ekspresi tersebut sama dengan $\tan(155^\circ - 115^\circ)$. Hitung selisih sudutnya: $155^\circ - 115^\circ = 40^\circ$ Jadi, nilai ekspresi tersebut adalah $\tan(40^\circ)$. Sekarang, kita perlu menghubungkan $\tan(40^\circ)$ dengan informasi yang diberikan, yaitu $\tan(25^\circ) = a$. Kita perlu mencari hubungan antara $40^\circ$ dan $25^\circ$ menggunakan identitas trigonometri. Kita tahu bahwa: $\tan(A - B) = \frac{\tan A - \tan B}{1 + \tan A \cdot \tan B}$ Mungkin kita bisa menggunakan identitas lain? Perhatikan sudut-sudutnya: $155^\circ$ dan $115^\circ$. Kita bisa menggunakan sifat sudut berelasi: $\tan(180^\circ - x) = -\tan x$ $\tan(90^\circ + x) = -\cot x$ Mari kita ubah sudut $155^\circ$ dan $115^\circ$ ke sudut yang lebih kecil: $\tan(155^\circ) = \tan(180^\circ - 25^\circ) = -\tan(25^\circ) = -a$ $\tan(115^\circ) = \tan(180^\circ - 65^\circ) = -\tan(65^\circ)$ Atau $\tan(115^\circ) = \tan(90^\circ + 25^\circ) = -\cot(25^\circ)$ Kita tahu bahwa $\cot(x) = 1 / \tan(x)$. Jadi, $\tan(115^\circ) = -1/a$. Sekarang substitusikan nilai-nilai ini ke dalam ekspresi: $\tan(155^\circ) = -a$ $\tan(115^\circ) = -1/a$ Ekspresi: $\frac{\tan 155^\circ - \tan 115^\circ}{1 + \tan 155^\circ \cdot \tan 115^\circ}$ Substitusi: Numerator: $-a - (-1/a) = -a + 1/a = \frac{-a^2 + 1}{a}$ Denominator: $1 + (-a) \cdot (-1/a) = 1 + (a/a) = 1 + 1 = 2$ Jadi, ekspresi tersebut menjadi: $\frac{(-a^2 + 1)/a}{2} = \frac{1 - a^2}{2a}$ Mari kita periksa kembali apakah $\tan(40^\circ)$ sama dengan $\frac{1 - a^2}{2a}$. Kita tahu $\tan(25^\circ) = a$. Kita ingin mencari $\tan(40^\circ)$. Apakah ada hubungan antara $\tan(40^\circ)$ dan $\tan(25^\circ)$? $40^\circ = 65^\circ - 25^\circ$ atau $40^\circ = ?$. Tidak ada hubungan langsung yang jelas. Periksa lagi penggunaan rumus $\tan(A-B)$. Kita sudah mendapatkan bahwa ekspresi tersebut sama dengan $\tan(40^\circ)$. Kita perlu mencari nilai $\tan(40^\circ)$ dalam bentuk $a$, di mana $\tan(25^\circ) = a$. Identitas yang mungkin berguna: $\tan(2x) = \frac{2 \tan x}{1 - \tan^2 x}$ $\tan(3x) = \frac{3 \tan x - \tan^3 x}{1 - 3 \tan^2 x}$ Kita punya $\tan(25^\circ) = a$. Kita bisa mencari $\tan(50^\circ) = \tan(2 \times 25^\circ) = \frac{2 \tan 25^\circ}{1 - \tan^2 25^\circ} = \frac{2a}{1 - a^2}$. Bagaimana dengan $\tan(40^\circ)$? Kita tahu $\tan(65^\circ) = \tan(90^\circ - 25^\circ) = \cot(25^\circ) = 1/a$. Kita bisa menggunakan rumus $\tan(A-B)$ lagi: $\tan(40^\circ) = \tan(65^\circ - 25^\circ) = \frac{\tan 65^\circ - \tan 25^\circ}{1 + \tan 65^\circ \cdot \tan 25^\circ}$ Substitusikan nilai yang kita tahu: $\tan 65^\circ = 1/a$ $\tan 25^\circ = a$ $\tan(40^\circ) = \frac{(1/a) - a}{1 + (1/a) \cdot a}$ Numerator: $\frac{1}{a} - a = \frac{1 - a^2}{a}$ Denominator: $1 + 1 = 2$ Jadi, $\tan(40^\circ) = \frac{(1 - a^2)/a}{2} = \frac{1 - a^2}{2a}$. Ini sesuai dengan hasil yang kita dapatkan sebelumnya dari substitusi langsung ke ekspresi awal. Jadi, nilai dari $(\tan 155^\circ - \tan 115^\circ) / (1 + \tan 155^\circ \cdot \tan 115^\circ)$ adalah $\frac{1 - a^2}{2a}$.
Buka akses pembahasan jawaban
Topik: Identitas Trigonometri
Section: Rumus Jumlah Dan Selisih Tangen
Apakah jawaban ini membantu?