Jika tan 25 = a, nilai dari (tan 155 - tan 115)/(1 + tan

Nilai ekspresi tersebut adalah (1 - a^2) / (2a).

Pembahasan

Pertanyaan ini meminta kita untuk menghitung nilai dari ekspresi trigonometri $(tan 155^\circ - tan 115^\circ) / (1 + tan 155^\circ \cdot tan 115^\circ)$, dengan diketahui bahwa tan 25^\circ = a.

Ekspresi yang diberikan memiliki bentuk yang sangat mirip dengan rumus penjumlahan atau pengurangan tangen:
Rumus pengurangan tangen:
$\tan(A - B) = \frac{\tan A - \tan B}{1 + \tan A \cdot \tan B}$

Jika kita bandingkan ekspresi kita dengan rumus ini, kita dapat mengidentifikasi:
A = 155^\circ
B = 115^\circ

Maka, ekspresi tersebut sama dengan $\tan(155^\circ - 115^\circ)$.

Hitung selisih sudutnya:
$155^\circ - 115^\circ = 40^\circ$

Jadi, nilai ekspresi tersebut adalah $\tan(40^\circ)$.

Sekarang, kita perlu menghubungkan $\tan(40^\circ)$ dengan informasi yang diberikan, yaitu $\tan(25^\circ) = a$.

Kita perlu mencari hubungan antara $40^\circ$ dan $25^\circ$ menggunakan identitas trigonometri.

Kita tahu bahwa:
$\tan(A - B) = \frac{\tan A - \tan B}{1 + \tan A \cdot \tan B}$

Mungkin kita bisa menggunakan identitas lain?
Perhatikan sudut-sudutnya: $155^\circ$ dan $115^\circ$.
Kita bisa menggunakan sifat sudut berelasi:
$\tan(180^\circ - x) = -\tan x$
$\tan(90^\circ + x) = -\cot x$

Mari kita ubah sudut $155^\circ$ dan $115^\circ$ ke sudut yang lebih kecil:
$\tan(155^\circ) = \tan(180^\circ - 25^\circ) = -\tan(25^\circ) = -a$

$\tan(115^\circ) = \tan(180^\circ - 65^\circ) = -\tan(65^\circ)$
Atau
$\tan(115^\circ) = \tan(90^\circ + 25^\circ) = -\cot(25^\circ)$

Kita tahu bahwa $\cot(x) = 1 / \tan(x)$. Jadi, $\tan(115^\circ) = -1/a$.

Sekarang substitusikan nilai-nilai ini ke dalam ekspresi:
$\tan(155^\circ) = -a$
$\tan(115^\circ) = -1/a$

Ekspresi: $\frac{\tan 155^\circ - \tan 115^\circ}{1 + \tan 155^\circ \cdot \tan 115^\circ}$

Substitusi:
Numerator: $-a - (-1/a) = -a + 1/a = \frac{-a^2 + 1}{a}$

Denominator: $1 + (-a) \cdot (-1/a) = 1 + (a/a) = 1 + 1 = 2$

Jadi, ekspresi tersebut menjadi:
$\frac{(-a^2 + 1)/a}{2} = \frac{1 - a^2}{2a}$

Mari kita periksa kembali apakah $\tan(40^\circ)$ sama dengan $\frac{1 - a^2}{2a}$.
Kita tahu $\tan(25^\circ) = a$.
Kita ingin mencari $\tan(40^\circ)$.
Apakah ada hubungan antara $\tan(40^\circ)$ dan $\tan(25^\circ)$?
$40^\circ = 65^\circ - 25^\circ$ atau $40^\circ = ?$.
Tidak ada hubungan langsung yang jelas.

Periksa lagi penggunaan rumus $\tan(A-B)$.
Kita sudah mendapatkan bahwa ekspresi tersebut sama dengan $\tan(40^\circ)$.

Kita perlu mencari nilai $\tan(40^\circ)$ dalam bentuk $a$, di mana $\tan(25^\circ) = a$.

Identitas yang mungkin berguna:
$\tan(2x) = \frac{2 \tan x}{1 - \tan^2 x}$
$\tan(3x) = \frac{3 \tan x - \tan^3 x}{1 - 3 \tan^2 x}$

Kita punya $\tan(25^\circ) = a$.
Kita bisa mencari $\tan(50^\circ) = \tan(2 \times 25^\circ) = \frac{2 \tan 25^\circ}{1 - \tan^2 25^\circ} = \frac{2a}{1 - a^2}$.

Bagaimana dengan $\tan(40^\circ)$?
Kita tahu $\tan(65^\circ) = \tan(90^\circ - 25^\circ) = \cot(25^\circ) = 1/a$.

Kita bisa menggunakan rumus $\tan(A-B)$ lagi:
$\tan(40^\circ) = \tan(65^\circ - 25^\circ) = \frac{\tan 65^\circ - \tan 25^\circ}{1 + \tan 65^\circ \cdot \tan 25^\circ}$

Substitusikan nilai yang kita tahu:
$\tan 65^\circ = 1/a$
$\tan 25^\circ = a$

$\tan(40^\circ) = \frac{(1/a) - a}{1 + (1/a) \cdot a}$

Numerator: $\frac{1}{a} - a = \frac{1 - a^2}{a}$

Denominator: $1 + 1 = 2$

Jadi, $\tan(40^\circ) = \frac{(1 - a^2)/a}{2} = \frac{1 - a^2}{2a}$.

Ini sesuai dengan hasil yang kita dapatkan sebelumnya dari substitusi langsung ke ekspresi awal.

Jadi, nilai dari $(\tan 155^\circ - \tan 115^\circ) / (1 + \tan 155^\circ \cdot \tan 115^\circ)$ adalah $\frac{1 - a^2}{2a}$.