Dalam jajargenjang O A B C , sudut A O C adalah lancip dan

Terbukti bahwa |AD| = |OC| dengan menggunakan sifat vektor dan kondisi yang diberikan.

Pembahasan

Dalam jajargenjang OABC, kita diberikan informasi bahwa sudut AOC adalah lancip, D adalah titik pada BC sedemikian rupa sehingga CD/DB = 1/2. Diketahui juga bahwa OA = a dan OC = c. Kita perlu membuktikan bahwa jika |AC| = |OD|, maka |AD| = |OC|. 

Langkah 1: Nyatakan vektor posisi dari titik-titik yang terlibat.
Misalkan O adalah titik asal (0,0). Maka, OA = a dan OC = c.
Karena OABC adalah jajargenjang, maka OB = OA + OC = a + c.
Karena D terletak pada BC sedemikian rupa sehingga CD/DB = 1/2, maka D membagi BC dalam perbandingan 1:2. Vektor OD dapat dinyatakan sebagai:
OD = (2 * OC + 1 * OB) / (1 + 2)
OD = (2c + (a + c)) / 3
OD = (a + 3c) / 3

Langkah 2: Hitung |AD|^2.
AD = OD - OA
AD = (a + 3c) / 3 - a
AD = (a + 3c - 3a) / 3
AD = (3c - 2a) / 3
|AD|^2 = AD . AD = ((3c - 2a) / 3) . ((3c - 2a) / 3)
|AD|^2 = (1/9) * (3c - 2a) . (3c - 2a)
|AD|^2 = (1/9) * (9|c|^2 - 12 a.c)

Langkah 3: Gunakan kondisi |AC| = |OD|.
AC = OC - OA = c - a
|AC|^2 = |c - a|^2 = (c - a) . (c - a) = |c|^2 - 2 a.c + |a|^2
OD = (a + 3c) / 3
|OD|^2 = |(a + 3c) / 3|^2 = (1/9) * (a + 3c) . (a + 3c)
|OD|^2 = (1/9) * (|a|^2 + 6 a.c + 9|c|^2)

Karena |AC|^2 = |OD|^2:
|c|^2 - 2 a.c + |a|^2 = (1/9) * (|a|^2 + 6 a.c + 9|c|^2)
9|c|^2 - 18 a.c + 9|a|^2 = |a|^2 + 6 a.c + 9|c|^2
8|a|^2 = 24 a.c
|a|^2 = 3 a.c

Langkah 4: Buktikan |AD| = |OC|.
Kita perlu membuktikan bahwa |AD|^2 = |OC|^2.
Dari Langkah 2, kita punya |AD|^2 = (1/9) * (9|c|^2 - 12 a.c).
Ganti a.c dengan |a|^2 / 3:
|AD|^2 = (1/9) * (9|c|^2 - 12 (|a|^2 / 3))
|AD|^2 = (1/9) * (9|c|^2 - 4|a|^2)

Sekarang kita perlu menunjukkan bahwa ini sama dengan |OC|^2 = |c|^2. Ada kesalahan dalam langkah-langkah sebelumnya atau dalam pemahaman soalnya. Mari kita tinjau ulang.

Perhitungan ulang OD:
OD = OC + CD
Karena CD/DB = 1/2, maka CD = (1/3) CB. CB = OB - OC = (OA + OC) - OC = OA = a.
Maka CD = (1/3)a.
OD = OC + CD = c + (1/3)a = (1/3)a + c.

Perhitungan ulang |AD|^2:
AD = OD - OA = ((1/3)a + c) - a = c - (2/3)a.
|AD|^2 = (c - (2/3)a) . (c - (2/3)a)
|AD|^2 = |c|^2 - (4/3) a.c + (4/9)|a|^2

Kondisi |AC| = |OD|:
AC = OC - OA = c - a
|AC|^2 = |c - a|^2 = |c|^2 - 2 a.c + |a|^2
OD = (1/3)a + c
|OD|^2 = |(1/3)a + c|^2 = (1/9)|a|^2 + (2/3) a.c + |c|^2

Karena |AC|^2 = |OD|^2:
|c|^2 - 2 a.c + |a|^2 = (1/9)|a|^2 + (2/3) a.c + |c|^2
-2 a.c + |a|^2 = (1/9)|a|^2 + (2/3) a.c
|a|^2 - (1/9)|a|^2 = (2/3) a.c + 2 a.c
(8/9)|a|^2 = (8/3) a.c
|a|^2 / 3 = a.c

Sekarang buktikan |AD| = |OC|, yaitu |AD|^2 = |OC|^2 = |c|^2.
|AD|^2 = |c|^2 - (4/3) a.c + (4/9)|a|^2
Ganti a.c dengan |a|^2 / 3:
|AD|^2 = |c|^2 - (4/3) (|a|^2 / 3) + (4/9)|a|^2
|AD|^2 = |c|^2 - (4/9)|a|^2 + (4/9)|a|^2
|AD|^2 = |c|^2
Ini membuktikan bahwa |AD| = |OC|.

Kesimpulan: Dengan menggunakan sifat vektor dan kondisi yang diberikan, kita telah membuktikan bahwa jika |AC| = |OD|, maka |AD| = |OC|.