Jumlah dua bilangan positif adalah 20. Carilah

a. 10 dan 10, b. 10 dan 10, c. 8 dan 12.

Pembahasan

Misalkan kedua bilangan positif tersebut adalah x dan y. Diketahui bahwa x + y = 20.

a. Hasil kali maksimum:
Kita ingin memaksimalkan P = x * y. Dari x + y = 20, kita dapat menulis y = 20 - x. Maka, P(x) = x(20 - x) = 20x - x^2. Untuk mencari nilai maksimum, kita turunkan P(x) terhadap x dan samakan dengan nol: P'(x) = 20 - 2x. Jika P'(x) = 0, maka 20 - 2x = 0, sehingga x = 10. Jika x = 10, maka y = 20 - 10 = 10. Jadi, hasil kalinya maksimum ketika kedua bilangan adalah 10 dan 10.

b. Jumlah kuadrat minimum:
Kita ingin meminimalkan S = x^2 + y^2. Substitusikan y = 20 - x ke dalam S: S(x) = x^2 + (20 - x)^2 = x^2 + 400 - 40x + x^2 = 2x^2 - 40x + 400. Untuk mencari nilai minimum, kita turunkan S(x) terhadap x dan samakan dengan nol: S'(x) = 4x - 40. Jika S'(x) = 0, maka 4x - 40 = 0, sehingga x = 10. Jika x = 10, maka y = 20 - 10 = 10. Jadi, jumlah kuadratnya minimum ketika kedua bilangan adalah 10 dan 10.

c. Hasil kali antara kuadrat bilangan yang satu dan pangkat tiga bilangan yang lain maksimum:
Kita ingin memaksimalkan M = x^2 * y^3 atau M = y^2 * x^3. Kita pilih salah satu, misalnya M = x^2 * y^3. Substitusikan y = 20 - x: M(x) = x^2 * (20 - x)^3. Untuk mencari nilai maksimum, kita turunkan M(x) terhadap x dan samakan dengan nol. Menggunakan aturan perkalian dan aturan rantai:
M'(x) = 2x(20 - x)^3 + x^2 * 3(20 - x)^2 * (-1)
M'(x) = x(20 - x)^2 [2(20 - x) - 3x]
M'(x) = x(20 - x)^2 [40 - 2x - 3x]
M'(x) = x(20 - x)^2 [40 - 5x]
Jika M'(x) = 0, maka x = 0 (tidak mungkin karena bilangan positif), 20 - x = 0 (x=20, sehingga y=0, tidak mungkin), atau 40 - 5x = 0 (x=8).
Jika x = 8, maka y = 20 - 8 = 12. Maka M = 8^2 * 12^3 = 64 * 1728 = 110592.
Jika kita memilih M = y^2 * x^3, maka dengan cara yang sama kita akan mendapatkan y = 8 dan x = 12. Maka M = 12^2 * 8^3 = 144 * 512 = 73728.
Jadi, agar hasil kali antara kuadrat bilangan yang satu dan pangkat tiga bilangan yang lain maksimum, bilangan-bilangan tersebut adalah 8 dan 12.