Jumlah dua bilangan positif adalah 24. Nilai terkecil dari

1/6

Pembahasan

Misalkan kedua bilangan positif tersebut adalah x dan y. Diketahui bahwa x + y = 24.
Kita ingin mencari nilai terkecil dari jumlah kebalikan bilangan-bilangan tersebut, yaitu 1/x + 1/y.

Kita dapat menuliskan 1/x + 1/y sebagai (y + x) / (xy).
Karena x + y = 24, maka ekspresi tersebut menjadi 24 / (xy).

Untuk meminimalkan 24 / (xy), kita perlu memaksimalkan nilai dari xy.
Dengan menggunakan ketaksamaan AM-GM (Arithmetic Mean - Geometric Mean), untuk dua bilangan positif x dan y, rata-rata aritmatika mereka selalu lebih besar dari atau sama dengan rata-rata geometrik mereka: (x + y) / 2 >= sqrt(xy).

Dalam kasus ini, (x + y) / 2 = 24 / 2 = 12.
Jadi, 12 >= sqrt(xy).
Kuadratkan kedua sisi: 144 >= xy.
Nilai maksimum dari xy adalah 144, yang terjadi ketika x = y.
Karena x + y = 24, maka x = y = 12.

Ketika xy maksimum, nilai 24 / (xy) akan minimum.
Nilai terkecil dari 1/x + 1/y adalah 24 / 144 = 1/6.