Jumlah dua bilangan positif x dan y sama dengan 18. Nilai

81

Pembahasan

Misalkan dua bilangan positif tersebut adalah x dan y. Diketahui bahwa jumlahnya adalah 18, sehingga x + y = 18. Kita ingin mencari nilai maksimum dari ekspresi P = x * y.
Dari persamaan x + y = 18, kita bisa menyatakan y sebagai y = 18 - x.
Substitusikan ini ke dalam ekspresi P:
P(x) = x * (18 - x)
P(x) = 18x - x^2.

Ini adalah fungsi kuadrat yang membuka ke bawah (karena koefisien x^2 adalah negatif), sehingga memiliki nilai maksimum. Nilai maksimum terjadi pada verteks parabola.
Koordinat x dari verteks parabola ax^2 + bx + c adalah -b/(2a).
Dalam kasus ini, a = -1 dan b = 18.
Jadi, x = -18 / (2 * -1) = -18 / -2 = 9.

Ketika x = 9, maka y = 18 - x = 18 - 9 = 9.
Nilai maksimum dari ekspresi x * y adalah ketika x = 9 dan y = 9.
Nilai maksimum = 9 * 9 = 81.

Cara lain adalah menggunakan ketaksamaan AM-GM (Arithmetic Mean - Geometric Mean).
Untuk dua bilangan positif x dan y, rata-rata aritmatik (AM) lebih besar dari atau sama dengan rata-rata geometrik (GM):
(x + y) / 2 >= sqrt(x * y)
Kita tahu x + y = 18.
18 / 2 >= sqrt(x * y)
9 >= sqrt(x * y)
Kuadratkan kedua sisi:
81 >= x * y.
Jadi, nilai maksimum dari x * y adalah 81. Nilai ini tercapai ketika x = y, yang berarti x = y = 18/2 = 9.