Jumlah semua pembuat nilai maksimum dan nilai minimum dari

2π

Pembahasan

Untuk mencari jumlah pembuat nilai maksimum dan minimum dari fungsi y = 2 sin x + sin 2x pada interval 0 ≤ x ≤ 2π, kita perlu mencari turunan pertama fungsi tersebut terhadap x, lalu menyamakannya dengan nol untuk menemukan titik-titik stasioner. Turunan pertama dari y adalah y' = 2 cos x + 2 cos 2x. Menyamakan y' dengan nol: 2 cos x + 2 cos 2x = 0 cos x + cos 2x = 0 Menggunakan identitas cos 2x = 2 cos^2 x - 1: cos x + (2 cos^2 x - 1) = 0 2 cos^2 x + cos x - 1 = 0 Misalkan u = cos x, maka 2u^2 + u - 1 = 0 (2u - 1)(u + 1) = 0 Sehingga, u = 1/2 atau u = -1. Jadi, cos x = 1/2 atau cos x = -1. Pada interval 0 ≤ x ≤ 2π: Jika cos x = 1/2, maka x = π/3 dan x = 5π/3. Jika cos x = -1, maka x = π. Titik-titik stasioner adalah x = π/3, x = π, dan x = 5π/3. Kita perlu menguji nilai-nilai ini untuk menentukan apakah mereka adalah maksimum atau minimum. Menggunakan turunan kedua: y" = -2 sin x - 4 sin 2x. y"(π/3) = -2 sin(π/3) - 4 sin(2π/3) = -2(√3/2) - 4(√3/2) = -√3 - 2√3 = -3√3 < 0 (maksimum). y"(π) = -2 sin(π) - 4 sin(2π) = 0 - 0 = 0 (uji perlu dilanjutkan atau gunakan nilai fungsi). y"(5π/3) = -2 sin(5π/3) - 4 sin(10π/3) = -2(-√3/2) - 4(-√3/2) = √3 + 2√3 = 3√3 > 0 (minimum). Untuk x = π, kita bisa melihat nilai fungsi: y(π) = 2 sin(π) + sin(2π) = 0. Nilai di titik ujung interval: y(0) = 2 sin(0) + sin(0) = 0. y(2π) = 2 sin(2π) + sin(4π) = 0. Nilai maksimum terjadi di x = π/3: y(π/3) = 2 sin(π/3) + sin(2π/3) = 2(√3/2) + √3/2 = √3 + √3/2 = 3√3/2. Nilai minimum terjadi di x = 5π/3: y(5π/3) = 2 sin(5π/3) + sin(10π/3) = 2(-√3/2) + (-√3/2) = -√3 - √3/2 = -3√3/2. Titik pembuat nilai maksimum adalah x = π/3. Titik pembuat nilai minimum adalah x = 5π/3. (Catatan: Ada kasus di mana turunan kedua adalah 0, namun dalam kasus ini, analisis nilai fungsi atau turunan yang lebih tinggi diperlukan. Namun, untuk soal ini, kita dapat mengidentifikasi titik-titik kritis.) Jadi, jumlah pembuat nilai maksimum dan minimum adalah π/3 + 5π/3 = 6π/3 = 2π.