Kotak persegi panjang terbuat dari karton dengan panjang 24

Ukuran kotak agar volumenya maksimum adalah panjang 20 inci, lebar 5 inci, dan tinggi 2 inci.

Pembahasan

Soal ini berkaitan dengan optimasi volume sebuah kotak yang dibuat dari selembar karton dengan memotong persegi identik dari keempat pojoknya dan melipat sisinya.

Diketahui:
- Panjang karton = 24 inci
- Lebar karton = 9 inci
- Ukuran persegi yang dipotong di setiap pojok = x inci

Setelah memotong persegi identik berukuran x kali x dari setiap pojok, sisi-sisi karton dilipat ke atas untuk membentuk sebuah kotak tanpa tutup.

Dimensi kotak yang terbentuk adalah:
- Panjang kotak (P) = Panjang karton - 2x = 24 - 2x inci
- Lebar kotak (L) = Lebar karton - 2x = 9 - 2x inci
- Tinggi kotak (T) = x inci (karena ini adalah sisi lipatan)

Volume (V) sebuah kotak adalah hasil kali panjang, lebar, dan tinggi:
V = P * L * T
V(x) = (24 - 2x) * (9 - 2x) * x

Kita perlu mencari nilai x agar volume V(x) maksimum. Untuk melakukan ini, kita akan mencari turunan pertama V(x) terhadap x, menyetelnya sama dengan nol, dan menyelesaikan untuk x.

1.  **Jabarkan fungsi Volume V(x):**
    V(x) = x * (216 - 48x - 18x + 4x^2)
    V(x) = x * (4x^2 - 66x + 216)
    V(x) = 4x^3 - 66x^2 + 216x

2.  **Cari turunan pertama V'(x):**
    V'(x) = d/dx (4x^3 - 66x^2 + 216x)
    V'(x) = 12x^2 - 132x + 216

3.  **Setel V'(x) = 0 untuk mencari titik kritis:**
    12x^2 - 132x + 216 = 0
    Bagi seluruh persamaan dengan 12:
    x^2 - 11x + 18 = 0

4.  **Faktorkan persamaan kuadrat atau gunakan rumus kuadrat untuk mencari x:**
    Kita cari dua bilangan yang jika dikalikan menghasilkan 18 dan jika dijumlahkan menghasilkan -11. Bilangan tersebut adalah -2 dan -9.
    (x - 2)(x - 9) = 0
    Maka, nilai-nilai kritisnya adalah x = 2 dan x = 9.

5.  **Periksa kendala pada x:**
    Karena x adalah panjang sisi persegi yang dipotong, x harus positif (x > 0).
    Selain itu, lebar kotak (9 - 2x) dan panjang kotak (24 - 2x) juga harus positif.
    -   9 - 2x > 0  =>  9 > 2x  =>  x < 4.5
    -   24 - 2x > 0 =>  24 > 2x  =>  x < 12
    Jadi, nilai x yang valid berada dalam selang (0, 4.5).

6.  **Evaluasi nilai x yang valid:**
    Dari nilai kritis x = 2 dan x = 9, hanya x = 2 yang berada dalam selang yang valid (0, 4.5).
    Nilai x = 9 tidak valid karena akan menghasilkan lebar kotak negatif (9 - 2*9 = 9 - 18 = -9).

7.  **Tentukan dimensi kotak dengan x = 2:**
    -   Panjang = 24 - 2(2) = 24 - 4 = 20 inci
    -   Lebar = 9 - 2(2) = 9 - 4 = 5 inci
    -   Tinggi = x = 2 inci

8.  **Hitung Volume maksimum:**
    V = Panjang * Lebar * Tinggi
    V = 20 inci * 5 inci * 2 inci
    V = 100 * 2 = 200 inci^3

Untuk memastikan bahwa x=2 memberikan volume maksimum, kita bisa menggunakan uji turunan kedua atau mengevaluasi V(x) pada x=2 dan nilai batas selang (meskipun x=0 dan x=4.5 menghasilkan volume 0).

V''(x) = 24x - 132
V''(2) = 24(2) - 132 = 48 - 132 = -84. Karena V''(2) negatif, ini mengkonfirmasi bahwa x=2 adalah titik maksimum lokal.

Jadi, ukuran kotak agar volumenya maksimum adalah panjang 20 inci, lebar 5 inci, dan tinggi 2 inci. Volume maksimumnya adalah 200 inci^3.