lim->0 (x tan x)/(sin^2 x - cos 2x + 1)= . . .

1/3

Pembahasan

Untuk menyelesaikan limit ini, kita akan menggunakan identitas trigonometri dan manipulasi aljabar.

Limit yang diberikan adalah: lim (x tan x) / (sin^2 x - cos 2x + 1) ketika x mendekati 0.

Pertama, kita bisa menyederhanakan penyebutnya. Kita tahu bahwa cos 2x = 1 - 2sin^2 x.
Substitusikan identitas ini ke dalam penyebut:
sin^2 x - (1 - 2sin^2 x) + 1
= sin^2 x - 1 + 2sin^2 x + 1
= 3sin^2 x

Sekarang, ekspresi limit menjadi:
lim (x tan x) / (3sin^2 x) ketika x mendekati 0.

Kita juga tahu bahwa tan x = sin x / cos x.
Jadi, x tan x = x * (sin x / cos x).

Ekspresi limit sekarang adalah:
lim (x * sin x / cos x) / (3sin^2 x) ketika x mendekati 0.

Kita bisa menulis ulang ini sebagai:
lim (x * sin x) / (cos x * 3sin^2 x) ketika x mendekati 0.

Pisahkan menjadi beberapa bagian yang kita ketahui limitnya:
lim (x / sin x) * lim (sin x / sin x) * lim (1 / (3 cos x)) ketika x mendekati 0.

Kita tahu bahwa:
lim (x / sin x) = 1 ketika x mendekati 0.
lim (sin x / sin x) = 1 (karena sin x / sin x = 1 untuk sin x ≠ 0).
lim (1 / (3 cos x)) = 1 / (3 cos 0) = 1 / (3 * 1) = 1/3.

Mengalikan hasil limit ini:
1 * 1 * (1/3) = 1/3.

Jadi, hasil dari lim->0 (x tan x)/(sin^2 x - cos 2x + 1) adalah 1/3.