lim x ->0 [akar(1/x^2-2/x+3)-1/x]=... A. 2D. -1 B. 1E. -2

-1

Pembahasan

Untuk menyelesaikan soal limit ini, kita perlu menyederhanakan ekspresi di dalam akar terlebih dahulu:

lim x ->0 [akar(1/x^2 - 2/x + 3) - 1/x]

Kita bisa keluarkan 1/x dari akar dengan hati-hati karena x bisa positif atau negatif saat mendekati 0. Jika x mendekati 0 dari sisi positif (x->0+), maka 1/x adalah positif. Jika x mendekati 0 dari sisi negatif (x->0-), maka 1/x adalah negatif.

Mari kita analisis ekspresi di dalam akar:
1/x^2 - 2/x + 3 = (1 - 2x + 3x^2) / x^2

Maka, akar(1/x^2 - 2/x + 3) = akar((1 - 2x + 3x^2) / x^2) = |1/x| * akar(1 - 2x + 3x^2)

Karena kita berurusan dengan limit saat x mendekati 0, kita perlu mempertimbangkan kedua sisi. Namun, dalam konteks soal limit seperti ini, seringkali diasumsikan bahwa kita melihat dari sisi yang membuat ekspresi terdefinisi dengan baik atau kita mencari hasil limit tertentu.

Mari kita coba pendekatan lain dengan mengalikan konjugat:

lim x ->0 [akar(1/x^2 - 2/x + 3) - 1/x] * [akar(1/x^2 - 2/x + 3) + 1/x] / [akar(1/x^2 - 2/x + 3) + 1/x]

= lim x ->0 [(1/x^2 - 2/x + 3) - 1/x^2] / [akar(1/x^2 - 2/x + 3) + 1/x]

= lim x ->0 [-2/x + 3] / [akar(1/x^2 - 2/x + 3) + 1/x]

Sekarang, kita bisa membagi pembilang dan penyebut dengan x (atau 1/x untuk penyebut yang di dalam akar):

Untuk penyebut: akar(1/x^2 - 2/x + 3) = akar(1/x^2 * (1 - 2x + 3x^2)) = |1/x| * akar(1 - 2x + 3x^2)

Jika x -> 0+, maka |1/x| = 1/x.
Jika x -> 0-, maka |1/x| = -1/x.

Mari kita asumsikan kita melihat limit dari kedua sisi atau mencari nilai yang konsisten.

Jika kita membagi pembilang dan penyebut dengan 1/x:

lim x ->0 [-2 + 3/(1/x)] / [akar(1 - 2x + 3x^2) + 1]

Ini tidak tepat karena pembagian dengan 1/x di penyebut akar belum dilakukan.

Mari kembali ke bentuk:

lim x ->0 [-2/x + 3] / [akar(1/x^2 - 2/x + 3) + 1/x]

Untuk menyederhanakan penyebut, kita keluarkan 1/x dari akar. Jika x mendekati 0, x^2 juga mendekati 0. 

lim x ->0 [-2/x + 3] / [|1/x| * akar(1 - 2x + 3x^2) + 1/x]

Kasus 1: x -> 0+

lim x ->0+ [-2/x + 3] / [1/x * akar(1 - 2x + 3x^2) + 1/x]

Bagi pembilang dan penyebut dengan 1/x:

lim x ->0+ [-2 + 3x] / [akar(1 - 2x + 3x^2) + 1]

Substitusikan x=0:

[-2 + 0] / [akar(1 - 0 + 0) + 1] = -2 / [akar(1) + 1] = -2 / (1 + 1) = -2 / 2 = -1

Kasus 2: x -> 0-

lim x ->0- [-2/x + 3] / [-1/x * akar(1 - 2x + 3x^2) + 1/x]

Bagi pembilang dan penyebut dengan 1/x:

lim x ->0- [-2 + 3x] / [-akar(1 - 2x + 3x^2) + 1]

Substitusikan x=0:

[-2 + 0] / [-akar(1 - 0 + 0) + 1] = -2 / [-akar(1) + 1] = -2 / (-1 + 1) = -2 / 0

Ini menunjukkan adanya masalah atau interpretasi lain yang diperlukan.

Mari kita coba manipulasi aljabar lain pada ekspresi awal:

lim x ->0 [akar((1 - 2x + 3x^2)/x^2) - 1/x]

= lim x ->0 [akar(1 - 2x + 3x^2) / |x| - 1/x]

Jika x -> 0+:

= lim x ->0+ [akar(1 - 2x + 3x^2) / x - 1/x]

= lim x ->0+ [akar(1 - 2x + 3x^2) - 1] / x

Ini adalah bentuk 0/0. Gunakan aturan L'Hopital atau kalikan konjugat:
Kalikan konjugat:

= lim x ->0+ [akar(1 - 2x + 3x^2) - 1] / x * [akar(1 - 2x + 3x^2) + 1] / [akar(1 - 2x + 3x^2) + 1]

= lim x ->0+ [(1 - 2x + 3x^2) - 1] / [x * (akar(1 - 2x + 3x^2) + 1)]

= lim x ->0+ [-2x + 3x^2] / [x * (akar(1 - 2x + 3x^2) + 1)]

= lim x ->0+ [x(-2 + 3x)] / [x * (akar(1 - 2x + 3x^2) + 1)]

= lim x ->0+ [-2 + 3x] / [akar(1 - 2x + 3x^2) + 1]

Substitusikan x=0:

= [-2 + 0] / [akar(1 - 0 + 0) + 1] = -2 / (1 + 1) = -2 / 2 = -1

Jika x -> 0-:

= lim x ->0- [akar(1 - 2x + 3x^2) / (-x) - 1/x]

= lim x ->0- [-akar(1 - 2x + 3x^2) / x - 1/x]

= lim x ->0- [-akar(1 - 2x + 3x^2) - 1] / x

Ini adalah bentuk -2/0, yang mengarah ke tak terhingga.

Namun, jika soal mengharapkan satu nilai, kemungkinan besar limitnya adalah -1. Ini terjadi jika kita mengabaikan perbedaan tanda |x| atau jika soal secara implisit menyiratkan konteks di mana x positif atau jika ada kesalahan dalam penulisan soal.

Jika kita melihat pilihan jawaban yang tersedia (A. 2, B. 1, C. 0, D. -1, E. -2), maka -1 adalah salah satu pilihan yang masuk akal jika kita hanya mempertimbangkan x->0+.

Mari kita periksa kembali apakah ada cara menyederhanakan ekspresi awal yang menghasilkan -1.

lim x->0 [sqrt(1/x^2 - 2/x + 3) - 1/x]
= lim x->0 [sqrt((1 - 2x + 3x^2)/x^2) - 1/x]
= lim x->0 [sqrt(1 - 2x + 3x^2) / |x| - 1/x]

Jika kita mengasumsikan x mendekati 0 dari sisi positif, maka |x| = x.

lim x->0+ [sqrt(1 - 2x + 3x^2) / x - 1/x]
= lim x->0+ [sqrt(1 - 2x + 3x^2) - 1] / x

Gunakan aturan L'Hopital karena bentuknya 0/0.
Turunan pembilang: (1/2) * (1 - 2x + 3x^2)^(-1/2) * (-2 + 6x)
Turunan penyebut: 1

lim x->0+ [(1/2) * (1 - 2x + 3x^2)^(-1/2) * (-2 + 6x)] / 1
Substitusikan x=0:
(1/2) * (1)^(-1/2) * (-2) = (1/2) * 1 * (-2) = -1

Karena -1 adalah salah satu pilihan jawaban, kemungkinan besar ini adalah jawaban yang dimaksud.