lim x->0 (sin 2x / x)=

Nilai limitnya adalah 2.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan limit $\lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{x}$, kita dapat menggunakan aturan L'Hopital atau sifat limit trigonometri.

Cara 1: Menggunakan Sifat Limit Trigonometri
Kita tahu bahwa $\lim_{x \to 0} \frac{\sin ax}{ax} = 1$. Agar sesuai dengan sifat ini, kita dapat memanipulasi soal:

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{x} \times \frac{2}{2}$
$= \lim_{x \to 0} 2 \times \frac{\sin 2x}{2x}$
Karena $\lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{2x} = 1$, maka:
$= 2 \times 1 = 2$

Cara 2: Menggunakan Aturan L'Hopital
Karena substitusi langsung $x=0$ menghasilkan bentuk $\frac{0}{0}$, kita dapat menggunakan aturan L'Hopital. Aturan L'Hopital menyatakan bahwa jika $\lim_{x \to c} \frac{f(x)}{g(x)}$ menghasilkan $\frac{0}{0}$ atau $\frac{\infty}{\infty}$, maka limit tersebut sama dengan $\lim_{x \to c} \frac{f'(x)}{g'(x)}$.

Dalam kasus ini, $f(x) = \sin 2x$ dan $g(x) = x$.
Maka, $f'(x) = \frac{d}{dx}(\sin 2x) = 2 \cos 2x$.
Dan $g'(x) = \frac{d}{dx}(x) = 1$.

Sehingga, $\lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{2 \cos 2x}{1}$
Sekarang substitusikan $x=0$:
$= \frac{2 \cos(2 \times 0)}{1} = \frac{2 \cos 0}{1} = \frac{2 \times 1}{1} = 2$.

Jadi, nilai dari limit tersebut adalah 2.