lim x->0 (tan x-sin x)/3x

Nilai limitnya adalah 0.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan limit $\lim_{x \to 0} \frac{\tan x - \sin x}{3x}$, kita dapat menggunakan manipulasi aljabar dan identitas trigonometri.

Pertama, kita bisa menulis ulang $\tan x$ sebagai $\frac{\sin x}{\cos x}$.

$\lim_{x \to 0} \frac{\tan x - \sin x}{3x} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{\sin x}{\cos x} - \sin x}{3x}$

Selanjutnya, kita faktorkan $\sin x$ dari pembilang:

$= \lim_{x \to 0} \frac{\sin x (\frac{1}{\cos x} - 1)}{3x}$

$= \lim_{x \to 0} \frac{\sin x (\frac{1 - \cos x}{\cos x})}{3x}$

Sekarang kita pisahkan limit menjadi beberapa bagian yang kita kenal:

$= \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \times \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{3 \cos x}$

Kita tahu bahwa $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$.

Untuk bagian kedua, kita substitusikan $x=0$ karena $\cos 0 = 1$:

$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{3 \cos x} = \frac{1 - \cos 0}{3 \cos 0} = \frac{1 - 1}{3 \times 1} = \frac{0}{3} = 0$.

Jadi, hasil akhirnya adalah:

$= 1 \times 0 = 0$.

Alternatif lain adalah menggunakan aturan L'Hopital karena jika kita substitusikan $x=0$ langsung, kita mendapatkan bentuk $\frac{0}{0}$.

Aturan L'Hopital menyatakan bahwa jika $\lim_{x \to c} \frac{f(x)}{g(x)}$ menghasilkan bentuk $\frac{0}{0}$ atau $\frac{\infty}{\infty}$, maka $\lim_{x \to c} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to c} \frac{f'(x)}{g'(x)}$.

Dalam kasus ini, $f(x) = \tan x - \sin x$ dan $g(x) = 3x$.

Turunan dari $f(x)$ adalah $f'(x) = \sec^2 x - \cos x$.
Turunan dari $g(x)$ adalah $g'(x) = 3$.

Sekarang kita hitung limit dari $\frac{f'(x)}{g'(x)}$:

$\lim_{x \to 0} \frac{\sec^2 x - \cos x}{3}$

Substitusikan $x=0$. Kita tahu $\sec 0 = \frac{1}{\cos 0} = \frac{1}{1} = 1$, dan $\cos 0 = 1$.

$= \frac{(\sec 0)^2 - \cos 0}{3}$
$= \frac{1^2 - 1}{3}$
$= \frac{1 - 1}{3}$
$= \frac{0}{3} = 0$.

Kedua metode memberikan hasil yang sama.