Diketahui model matematika sebagai berikut. 0<=x<=7;

10

Pembahasan

Kita diminta untuk mencari nilai minimum dari fungsi sasaran f(x,y) = 5x + 10y dengan kendala:
0 <= x <= 7
1 <= y <= 4
x + 2y <= 8

Langkah pertama adalah menggambarkan daerah penyelesaian dari kendala-kendala tersebut.

1. x = 0 (sumbu y)
2. x = 7 (garis vertikal)
3. y = 1 (garis horizontal)
4. y = 4 (garis horizontal)
5. x + 2y = 8. Jika x=0, y=4. Jika y=0, x=8. Jadi, garis melalui (0, 4) dan (8, 0).

Kita perlu mencari titik-titik sudut (vertex) dari daerah penyelesaian yang dibatasi oleh kendala-kendala ini.

Titik potong antara:
- y = 1 dan x + 2y = 8  => x + 2(1) = 8 => x = 6. Titik: (6, 1).
- x = 0 dan y = 1. Titik: (0, 1).
- x = 0 dan y = 4. Titik: (0, 4). (Namun, ini juga dibatasi oleh x + 2y <= 8. Jika x=0, 2y<=8, y<=4, jadi titik (0,4) adalah batas)
- y = 4 dan x + 2y = 8 => x + 2(4) = 8 => x = 0. Titik: (0, 4).
- x = 7 dan y = 1. Titik: (7, 1). (Periksa apakah memenuhi x + 2y <= 8. 7 + 2(1) = 9, tidak memenuhi)
- Kita perlu mencari titik potong lain yang mungkin.

Periksa kendala x + 2y <= 8:
Untuk (6, 1): 6 + 2(1) = 8. Memenuhi.
Untuk (0, 1): 0 + 2(1) = 2. Memenuhi.
Untuk (0, 4): 0 + 2(4) = 8. Memenuhi.

Sekarang kita perlu mempertimbangkan batas x <= 7. Titik (6,1) dan (0,1) serta (0,4) sudah memenuhi x <= 7.

Titik-titik sudut yang valid adalah:
- (0, 1)  (dari 0<=x, 1<=y)
- (0, 4)  (dari 0<=x, y<=4, dan x+2y<=8)
- (6, 1)  (dari 1<=y, x+2y<=8)

Periksa apakah ada titik potong lain yang penting:
Batas y=4 bertemu dengan x=0 menghasilkan (0,4).
Batas y=1 bertemu dengan x=0 menghasilkan (0,1).
Batas y=1 bertemu dengan x+2y=8 menghasilkan (6,1).
Batas y=4 bertemu dengan x+2y=8 menghasilkan (0,4).

Jadi, titik sudutnya adalah (0,1), (0,4), dan (6,1).

Sekarang substitusikan titik-titik sudut ini ke dalam fungsi sasaran f(x,y) = 5x + 10y:
- f(0, 1) = 5(0) + 10(1) = 0 + 10 = 10
- f(0, 4) = 5(0) + 10(4) = 0 + 40 = 40
- f(6, 1) = 5(6) + 10(1) = 30 + 10 = 40

Nilai minimum yang dihasilkan oleh fungsi sasaran adalah 10.