lim x->1 ((3x-1)^2-4)/(x^2+4x-5)=...

2

Pembahasan

Untuk menyelesaikan limit $\lim_{x \to 1} \frac{(3x-1)^2 - 4}{x^2 + 4x - 5}$, pertama kita substitusikan x = 1 ke dalam persamaan untuk memeriksa apakah bentuknya tak tentu.

Pembilang: $(3(1)-1)^2 - 4 = (3-1)^2 - 4 = 2^2 - 4 = 4 - 4 = 0$

Penyebut: $(1)^2 + 4(1) - 5 = 1 + 4 - 5 = 0$

Karena hasilnya adalah bentuk tak tentu 0/0, kita dapat menggunakan metode faktorisasi atau aturan L'Hopital.

Metode 1: Faktorisasi
Kita faktorkan pembilang dan penyebut.
Pembilang: $(3x-1)^2 - 4 = ((3x-1) - 2)((3x-1) + 2) = (3x-3)(3x+1) = 3(x-1)(3x+1)$
Penyebut: $x^2 + 4x - 5$. Kita cari dua bilangan yang jika dikalikan hasilnya -5 dan jika dijumlahkan hasilnya 4. Bilangan tersebut adalah 5 dan -1. Jadi, $x^2 + 4x - 5 = (x+5)(x-1)$.

Sekarang kita substitusikan kembali ke dalam limit:
$\lim_{x \to 1} \frac{3(x-1)(3x+1)}{(x+5)(x-1)}$

Kita bisa membatalkan faktor (x-1) karena x mendekati 1 tetapi tidak sama dengan 1:
$\lim_{x \to 1} \frac{3(3x+1)}{x+5}$

Sekarang substitusikan x = 1:
$rac{3(3(1)+1)}{1+5} = rac{3(3+1)}{6} = rac{3(4)}{6} = rac{12}{6} = 2$

Metode 2: Aturan L'Hopital
Karena kita mendapatkan bentuk 0/0, kita bisa menurunkan pembilang dan penyebut secara terpisah.
Turunan pembilang: $\frac{d}{dx}((3x-1)^2 - 4) = 2(3x-1) 	imes 3 = 6(3x-1)$
Turunan penyebut: $\frac{d}{dx}(x^2 + 4x - 5) = 2x + 4$

Sekarang kita hitung limit dari hasil turunan:
$\lim_{x \to 1} \frac{6(3x-1)}{2x+4}$

Substitusikan x = 1:
$rac{6(3(1)-1)}{2(1)+4} = rac{6(3-1)}{2+4} = rac{6(2)}{6} = rac{12}{6} = 2$

Kedua metode memberikan hasil yang sama.