lim (x+2)-> ((x^2-4)tan(x+2))/sin^2(x+2)=...

-4

Pembahasan

Soal ini meminta untuk menentukan nilai dari limit:
lim (x+2)-> ((x^2-4)tan(x+2))/sin^2(x+2)

Kita bisa memfaktorkan x^2 - 4 menjadi (x - 2)(x + 2).
Limit tersebut menjadi:
lim (x+2)-> (((x-2)(x+2))tan(x+2))/sin^2(x+2)

Mari kita substitusikan u = x + 2. Ketika x mendekati -2, maka u mendekati 0. Juga, x - 2 menjadi u - 4.
Limitnya menjadi:
lim u->0 (((u-4)u)tan(u))/sin^2(u)

Kita tahu bahwa tan(u)/u mendekati 1 dan u/sin(u) mendekati 1 ketika u mendekati 0.
Kita bisa menulis ulang ekspresi tersebut sebagai:
lim u->0 (u-4) * (u/sin(u)) * (tan(u)/sin(u))

Ini bisa dipecah menjadi:
lim u->0 (u-4) * lim u->0 (u/sin(u)) * lim u->0 (tan(u)/sin(u))

Kita tahu:
lim u->0 (u/sin(u)) = 1

Untuk lim u->0 (tan(u)/sin(u)), kita bisa menuliskannya sebagai lim u->0 (sin(u)/cos(u))/sin(u) = lim u->0 1/cos(u) = 1/cos(0) = 1/1 = 1.

Jadi, limitnya adalah:
lim u->0 (u-4) * 1 * 1 = 0 - 4 = -4.

Namun, ada kesalahan dalam penulisan soal karena ada pembagian dengan sin^2(x+2) yang membuat ekspresi tidak terdefinisi jika tidak ada faktor sin(x+2) di pembilang. Jika soal seharusnya:
lim (x+2)-> ((x^2-4)sin(x+2))/sin^2(x+2)

Maka bisa disederhanakan menjadi:
lim (x+2)-> (x^2-4)/sin(x+2)

Dengan substitusi u = x+2:
lim u->0 (u-4)u / sin(u)

Ini bisa ditulis sebagai:
lim u->0 (u-4) * lim u->0 u/sin(u)

= (0-4) * 1 = -4.

Jika soal dimaksudkan:
lim (x+2)-> ((x^2-4)) * (tan(x+2)/(x+2)) * ((x+2)/sin(x+2)) * (1/sin(x+2))

Ini menjadi tidak terdefinisi.

Asumsikan soalnya adalah: lim (x+2)-> ((x^2-4)tan(x+2))/(x+2)sin(x+2)
lim (x+2)-> ((x-2)(x+2)tan(x+2))/((x+2)sin(x+2))
lim (x+2)-> ((x-2)tan(x+2))/sin(x+2)

Substitusi u = x+2:
lim u->0 ((u-4)tan(u))/sin(u)
lim u->0 (u-4) * (tan(u)/u) * (u/sin(u))
= (0-4) * 1 * 1 = -4.

Karena soal aslinya adalah ((x^2-4)tan(x+2))/sin^2(x+2), mari kita analisis kembali.
Misalkan y = x+2, maka x = y-2.
Limitnya menjadi lim y->0 ((y-2)^2 - 4) tan(y) / sin^2(y)
= lim y->0 (y^2 - 4y + 4 - 4) tan(y) / sin^2(y)
= lim y->0 (y^2 - 4y) tan(y) / sin^2(y)
= lim y->0 y(y-4) tan(y) / sin^2(y)
= lim y->0 y(y-4) (sin(y)/cos(y)) / sin^2(y)
= lim y->0 (y-4) / (cos(y) sin(y))

Ini masih tidak mengarah ke hasil yang terdefinisi. Kemungkinan besar ada kesalahan ketik pada soal. Namun, jika kita mengasumsikan bahwa ada faktor (x+2) di pembilang yang belum ditulis atau bahwa sin^2(x+2) seharusnya hanya sin(x+2), jawaban yang paling masuk akal berdasarkan bentuk umum soal limit trigonometri adalah -4.

Namun, jika kita menganggap soalnya persis seperti tertulis:
lim (x+2)-> ((x^2-4)tan(x+2))/sin^2(x+2)

Substitusi u = x+2:
lim u->0 ((u-4)u * tan(u)) / sin^2(u)
= lim u->0 (u-4) * u * (sin(u)/cos(u)) / sin^2(u)
= lim u->0 (u-4) * (1/cos(u)) * (u/sin(u))

Kita tahu lim u->0 (u/sin(u)) = 1 dan lim u->0 (1/cos(u)) = 1.
Jadi, limitnya adalah:
lim u->0 (u-4) * 1 * 1 = 0 - 4 = -4.

Jadi, nilai limitnya adalah -4.