Pada kubus ABCD.EFGH yang panjang rusuknya 18 cm, titik P

2 \sqrt{3} cm

Pembahasan

Soal ini berkaitan dengan geometri ruang, khususnya jarak antara titik dan bidang pada kubus.

Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 18 cm. Titik P pada DH sehingga DP:PH = 2:1. Ini berarti DH terbagi menjadi 3 bagian yang sama, dan DP adalah 2 bagian, sedangkan PH adalah 1 bagian. Karena panjang rusuk DH = 18 cm, maka DP = (2/3) * 18 = 12 cm dan PH = (1/3) * 18 = 6 cm.

Kita perlu mencari jarak P ke bidang ACH.
Bidang ACH adalah bidang diagonal pada kubus. Misalkan kita menempatkan kubus pada sistem koordinat Kartesius dengan titik D di (0,0,0), DA pada sumbu x, DC pada sumbu y, dan DH pada sumbu z.

Maka koordinat titik-titik tersebut adalah:
D = (0,0,0)
A = (18,0,0)
C = (0,18,0)
H = (0,0,18)
P = (0,0,12) (karena P pada DH dan DP = 12)

Persamaan bidang ACH:
Bidang ini melalui titik A(18,0,0), C(0,18,0), dan H(0,0,18).
Persamaan umum bidang adalah ax + by + cz = d.
Substitusikan titik A: 18a = d
Substitusikan titik C: 18b = d
Substitusikan titik H: 18c = d

Dari sini, kita dapatkan a = d/18, b = d/18, c = d/18.
Substitusikan kembali ke persamaan bidang:
(d/18)x + (d/18)y + (d/18)z = d
Bagi kedua sisi dengan d/18 (asumsikan d tidak nol):
x + y + z = 18.
Jadi, persamaan bidang ACH adalah x + y + z - 18 = 0.

Jarak titik P(x0, y0, z0) ke bidang Ax + By + Cz + D = 0 diberikan oleh rumus:
jarak = |Ax0 + By0 + Cz0 + D| / sqrt(A^2 + B^2 + C^2)

Dalam kasus ini, P = (0,0,12), dan bidangnya adalah x + y + z - 18 = 0.
Jadi, A=1, B=1, C=1, D=-18, x0=0, y0=0, z0=12.

jarak = |(1)(0) + (1)(0) + (1)(12) - 18| / sqrt(1^2 + 1^2 + 1^2)

jarak = |0 + 0 + 12 - 18| / sqrt(1 + 1 + 1)

jarak = |-6| / sqrt(3)

jarak = 6 / sqrt(3)

Untuk merasionalkan penyebut, kalikan dengan sqrt(3)/sqrt(3):

jarak = (6 * sqrt(3)) / (sqrt(3) * sqrt(3))

jarak = 6 * sqrt(3) / 3

jarak = 2 * sqrt(3)

Jawaban Lengkap: Jarak titik P ke bidang ACH adalah 2 \sqrt{3} cm.

Jawaban Singkat: 2 \sqrt{3} cm