limit_(x -> 0) (4 x cos x)/(sin 5 x+sin 3 x)=..

1/2

Pembahasan

Untuk menyelesaikan limit ini, kita dapat menggunakan aturan L'Hopital karena ketika kita substitusikan x=0, kita akan mendapatkan bentuk tak tentu 0/0. Limitnya adalah: \
limit_{x -> 0} (4 x cos x)/(sin 5x + sin 3x) \
Karena sin(0) = 0 dan cos(0) = 1, substitusi x=0 menghasilkan (4*0*1)/(0+0) = 0/0. \
Menggunakan aturan L'Hopital, kita turunkan pembilang dan penyebut terhadap x: \
Turunan pembilang (4x cos x): \
Menggunakan aturan perkalian (uv)' = u'v + uv': \
(4 cos x) + (4x)(-sin x) = 4 cos x - 4x sin x \
Turunan penyebut (sin 5x + sin 3x): \
Turunan dari sin(ax) adalah a cos(ax). \
Maka, turunan dari sin 5x adalah 5 cos 5x. \
Turunan dari sin 3x adalah 3 cos 3x. \
Jadi, turunan penyebut adalah 5 cos 5x + 3 cos 3x. \
Sekarang kita hitung limit dari hasil turunan tersebut: \
limit_{x -> 0} (4 cos x - 4x sin x)/(5 cos 5x + 3 cos 3x) \
Substitusikan x=0: \
(4 cos 0 - 4*0*sin 0) / (5 cos 0 + 3 cos 0) \
= (4*1 - 0) / (5*1 + 3*1) \
= 4 / (5 + 3) \
= 4 / 8 \
= 1/2 \
Jadi, hasil dari limit_(x -> 0) (4 x cos x)/(sin 5 x+sin 3 x) adalah 1/2.