limit x mendekati 0 (cos x- cos 5x)/xtan 2x = ...

Nilai limitnya adalah 6.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan soal limit ini, kita bisa menggunakan aturan L'Hopital karena jika kita substitusikan x=0, kita akan mendapatkan bentuk tak tentu 0/0.

Limit yang diberikan adalah: $\\lim_{x \to 0} \frac{\cos x - \cos 5x}{x \tan 2x}$

Kita akan menurunkan pembilang dan penyebut secara terpisah terhadap x.

Turunan pembilang (d/dx (cos x - cos 5x)):
$d/dx (\cos x) = -\sin x$
$d/dx (\cos 5x) = -\sin 5x * 5 = -5\sin 5x$
Jadi, turunan pembilang adalah $- \sin x - (-5\sin 5x) = -\sin x + 5\sin 5x$.

Turunan penyebut (d/dx (x tan 2x)):
Kita gunakan aturan perkalian (uv)' = u'v + uv'.
Misalkan u = x dan v = tan 2x.
$u' = 1$
$v' = \sec^2(2x) * 2 = 2\sec^2(2x)$
Jadi, turunan penyebut adalah $1 * \tan 2x + x * (2\sec^2(2x)) = \tan 2x + 2x\sec^2(2x)$.

Menerapkan aturan L'Hopital:
$\\lim_{x \to 0} \frac{-\sin x + 5\sin 5x}{\tan 2x + 2x\sec^2(2x)}$

Sekarang substitusikan x = 0:
Pembilang: $-\sin 0 + 5\sin (5*0) = -0 + 5*0 = 0$
Penyebut: $\tan (2*0) + 2*0*\sec^2(2*0) = \tan 0 + 0 * \sec^2 0 = 0 + 0 * 1^2 = 0$

Karena masih mendapatkan bentuk tak tentu 0/0, kita terapkan lagi aturan L'Hopital.

Turunan pembilang baru (d/dx (-sin x + 5sin 5x)):
$d/dx (-\sin x) = -\cos x$
$d/dx (5\sin 5x) = 5 * \cos 5x * 5 = 25\cos 5x$
Jadi, turunan pembilang baru adalah $- \cos x + 25\cos 5x$.

Turunan penyebut baru (d/dx (tan 2x + 2x sec^2 2x)):
$d/dx (\tan 2x) = 2\sec^2(2x)$
Untuk $d/dx (2x\sec^2(2x))$, kita gunakan aturan perkalian lagi:
$u = 2x$, $v = \sec^2(2x)$
$u' = 2$
$v' = 2\sec(2x) * (\sec(2x)\tan(2x) * 2) = 4\sec^2(2x)\tan(2x)$
Jadi, turunan $2x\sec^2(2x)$ adalah $2\sec^2(2x) + 2x(4\sec^2(2x)\tan(2x)) = 2\sec^2(2x) + 8x\sec^2(2x)\tan(2x)$.

Turunan penyebut total: $2\sec^2(2x) + 2\sec^2(2x) + 8x\sec^2(2x)\tan(2x) = 4\sec^2(2x) + 8x\sec^2(2x)\tan(2x)$.

Menerapkan aturan L'Hopital untuk kedua kalinya:
$\\lim_{x \to 0} \frac{-\cos x + 25\cos 5x}{4\sec^2(2x) + 8x\sec^2(2x)\tan(2x)}$

Sekarang substitusikan x = 0:
Pembilang: $-\cos 0 + 25\cos (5*0) = -1 + 25*1 = 24$
Penyebut: $4\sec^2(0) + 8*0*\sec^2(0)*\tan(0) = 4*(1)^2 + 0 = 4$

Hasil limit adalah 24/4 = 6.

Alternatif menggunakan sifat limit:
$\\lim_{x \to 0} \frac{\cos x - \cos 5x}{x \tan 2x} = \lim_{x \to 0} \frac{-2 \sin(\frac{x+5x}{2}) \sin(\frac{x-5x}{2})}{x \tan 2x}$
$= \lim_{x \to 0} \frac{-2 \sin(3x) \sin(-2x)}{x \tan 2x}$
$= \lim_{x \to 0} \frac{-2 \sin(3x) (-\sin(2x))}{x \tan 2x}$
$= \lim_{x \to 0} \frac{2 \sin(3x) \sin(2x)}{x \tan 2x}$
Kita bisa memecahnya menjadi:
$= 2 * \lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x)}{x} * \lim_{x \to 0} \frac{\sin(2x)}{\tan 2x}$
Menggunakan $\lim_{x 	o 0} \frac{\sin(ax)}{x} = a$ dan $\lim_{x 	o 0} \frac{\tan(bx)}{x} = b$, serta $\lim_{x 	o 0} \frac{\sin(cx)}{\tan(cx)} = 1$:
$= 2 * (3) * \lim_{x \to 0} \frac{\sin(2x)}{2x} * \frac{2x}{\tan 2x}$
$= 2 * 3 * 1 * 1 = 6$

Jadi, nilai limitnya adalah 6.