Jika x memenuhi persamaan x^(2 log x)=16, maka 4 log x^2

8

Pembahasan

Untuk menyelesaikan persamaan ini, kita akan menggunakan sifat logaritma. Persamaan yang diberikan adalah x^(2 log x) = 16.

Kita bisa mengambil logaritma dari kedua sisi persamaan (misalnya, basis 10 atau basis lain yang sesuai, tetapi di sini kita asumsikan logaritma natural atau basis 10 yang umum digunakan dalam konteks ini). Namun, lebih mudah jika kita perhatikan bentuknya. Jika kita misalkan log x = y, maka persamaannya menjadi x^(2y) = 16.

Alternatif lain yang lebih langsung adalah dengan menerapkan sifat logaritma pada eksponen. Misalkan kita ambil logaritma basis 2 pada kedua sisi:
log₂(x^(2 log x)) = log₂(16)
(2 log x) * log₂(x) = 4
2 * (log x)² = 4
(log x)² = 2
log x = ±√2

Ini berarti x = 2^(√2) atau x = 2^(-√2).

Sekarang kita perlu mencari nilai dari 4 log x². Menggunakan sifat logaritma, 4 log x² = 4 * (2 log x) = 8 log x.

Jika log x = √2, maka 8 log x = 8√2.
Jika log x = -√2, maka 8 log x = -8√2.

Namun, seringkali dalam soal seperti ini, 'log x' mengacu pada logaritma dengan basis tertentu yang tidak disebutkan, yang paling umum adalah basis 10. Jika kita gunakan logaritma basis 10:

x^(2 log₁₀ x) = 16
Ambil log₁₀ pada kedua sisi:
log₁₀(x^(2 log₁₀ x)) = log₁₀(16)
(2 log₁₀ x) * (log₁₀ x) = log₁₀(16)
2 * (log₁₀ x)² = log₁₀(16)
(log₁₀ x)² = (1/2) log₁₀(16)
(log₁₀ x)² = log₁₀(16^(1/2))
(log₁₀ x)² = log₁₀(4)
log₁₀ x = ±√(log₁₀ 4)
log₁₀ x = ±√(2 log₁₀ 2)

Kemudian kita ingin mencari 4 log₁₀ x². 
4 log₁₀ x² = 4 * (2 log₁₀ x) = 8 log₁₀ x.

Menggunakan log₁₀ x = ±√(log₁₀ 4):
8 log₁₀ x = ±8√(log₁₀ 4) = ±8√(2 log₁₀ 2).

Ada kemungkinan interpretasi lain dari soal ini, terutama jika basis logaritma yang dimaksud adalah basis x. Jika itu kasusnya, maka logₓ(x) = 1.
Namun, jika kita kembali ke soal: x^(2 log x) = 16, dan kita ingin mencari 4 log x². 

Mari kita coba substitusi jika log x = 2 (maka x = 100):
100^(2 log 100) = 100^(2*2) = 100^4 = (10^2)^4 = 10^8 ≠ 16.

Jika kita misalkan log x = y, maka x = 10^y.
(10^y)^(2y) = 16
10^(2y²) = 16

Mari kita coba lihat hubungan antara 4 log x² dan ekspresi asli. Kita tahu 4 log x² = 8 log x.

Jika kita asumsikan log x = 2, maka x = 100. Maka 4 log x² = 4 log (100²) = 4 log (10000) = 4 * 4 = 16. Tapi ini tidak memenuhi persamaan awal.

Jika kita asumsikan log x = 1, maka x = 10. Maka 10^(2 log 10) = 10^(2*1) = 10^2 = 100 ≠ 16.

Jika kita kembali ke 2 * (log x)² = log₁₀(16) = 4 log₁₀(2).
(log x)² = 2 log₁₀(2) = log₁₀(4).
log x = ±log₁₀(2).
Ini berarti x = 10^(log₁₀(2)) = 2 atau x = 10^(-log₁₀(2)) = 1/2.

Mari kita cek x = 2:
2^(2 log 2) = 2^(2 * 0.301) = 2^(0.602) ≠ 16.

Ada kemungkinan soal ini menggunakan logaritma dengan basis yang sama dengan x atau basis lain yang memudahkan. Jika basis logaritma adalah 2:
x^(2 log₂ x) = 16
Jika x = 4, maka log₂ 4 = 2.
4^(2 log₂ 4) = 4^(2*2) = 4^4 = 256 ≠ 16.
Jika x = 2, maka log₂ 2 = 1.
2^(2 log₂ 2) = 2^(2*1) = 2^2 = 4 ≠ 16.

Jika kita perhatikan 4 log x², ini sama dengan 8 log x. Jika kita ingin hasil konstanta, mungkin log x harus konstanta.

Mari kita perhatikan persamaan x^(2 log x) = 16. Jika kita misalkan y = log x, maka x = b^y (dimana b adalah basis logaritma).
(b^y)^(2y) = 16
b^(2y²) = 16

Jika kita kembali ke logaritma basis 10 dan asumsi bahwa soal ini memiliki solusi integer atau rasional yang sederhana untuk 'log x'.
Jika log x = 2, maka x = 100. Maka 4 log x² = 4 log (100²) = 4 log (10000) = 4 * 4 = 16. Tapi ini tidak memenuhi persamaan awal.

Jika kita perhatikan kembali persamaan x^(2 log x) = 16.
Jika kita misalkan log x = 2, maka x=100. x^(2 log x) = 100^(2*2) = 100^4 = 10^8, ini salah.

Jika kita misalkan log x = 1/2, maka x = sqrt(10). x^(2 log x) = (sqrt(10))^(2 * 1/2) = (sqrt(10))^1 = sqrt(10) ≠ 16.

Jika kita gunakan logaritma basis 2 pada x^(2 log x) = 16:
log₂(x^(2 log₂ x)) = log₂(16)
(2 log₂ x)(log₂ x) = 4
2(log₂ x)² = 4
(log₂ x)² = 2
log₂ x = ±√2

Nilai yang ditanyakan adalah 4 log x². Ini bisa berarti 4 * (log x)² atau 4 * log(x²). Dengan asumsi yang kedua:
4 log₂ x² = 4 * (2 log₂ x) = 8 log₂ x.

Mengganti nilai log₂ x = ±√2:
8 log₂ x = 8(±√2) = ±8√2.

Namun, jika soal ini berasal dari konteks ujian di mana jawaban biasanya lebih sederhana, mungkin ada kesalahan interpretasi atau soalnya sendiri. Seringkali soal seperti ini melibatkan asumsi basis logaritma tertentu.

Mari kita coba asumsi lain: Jika x^(2 log x) = 16, dan kita ingin mencari 4 log x². 
Perhatikan bahwa 4 log x² = 4 * (2 log x) = 8 log x.

Jika kita misalkan log x = y, maka x = 10^y. Maka 10^(2y²) = 16. Maka 2y² = log(16) = 4 log(2). y² = 2 log(2) = log(4). y = ±sqrt(log 4).
Maka 8 log x = 8y = ±8 sqrt(log 4).

Jika kita perhatikan soal #4, ada kemungkinan soal ini merujuk pada logaritma basis tertentu yang membuat solusinya lebih sederhana. 
Misalkan basis logaritma adalah $b$. Maka $x^{2 	ext{log}_b x} = 16$. Kita ingin mencari $4 	ext{log}_b x^2 = 8 	ext{log}_b x$. 
Misalkan $y = 	ext{log}_b x$. Maka $x = b^y$. 
$(b^y)^{2y} = 16 
ightarrow b^{2y^2} = 16$. 
Kita ingin mencari $8y$. 

Jika kita asumsikan basis logaritma adalah 2:
$x^{2 	ext{log}_2 x} = 16$. Jika $x=4$, $	ext{log}_2 4 = 2$. Maka $4^{2 	imes 2} = 4^4 = 256 
eq 16$. 
Jika $x=2$, $	ext{log}_2 2 = 1$. Maka $2^{2 	imes 1} = 2^2 = 4 
eq 16$. 

Jika kita asumsikan basis logaritma adalah 4:
$x^{2 	ext{log}_4 x} = 16$. Jika $x=2$, $	ext{log}_4 2 = 1/2$. Maka $2^{2 	imes (1/2)} = 2^1 = 2 
eq 16$. 
Jika $x=4$, $	ext{log}_4 4 = 1$. Maka $4^{2 	imes 1} = 4^2 = 16$. 
Jadi, $x=4$ adalah solusi jika basis logaritma adalah 4. 

Jika basis logaritma adalah 4, maka kita ingin mencari $4 	ext{log}_4 x^2$. 
Karena $x=4$, maka $4 	ext{log}_4 4^2 = 4 	imes 2 = 8$. 

Jadi, jika basis logaritma adalah 4, maka nilai $4 	ext{log}_4 x^2$ adalah 8.