Lingkaran dengan pusat A disinggung oleh garis BC dan B D

14,4 cm

Pembahasan

Dalam soal ini, kita memiliki lingkaran dengan pusat A yang disinggung oleh garis BC dan BD. Ini berarti bahwa sudut ABC dan ABD adalah sudut siku-siku (90 derajat) karena garis singgung tegak lurus terhadap jari-jari di titik singgung. Kita diberikan panjang AC = 9 cm dan BC = 12 cm.

Karena BC adalah garis singgung dan AC adalah jari-jari, maka segitiga ABC adalah segitiga siku-siku di C. Kita bisa menggunakan Teorema Pythagoras untuk mencari panjang AB:
AB^2 = AC^2 + BC^2
AB^2 = 9^2 + 12^2
AB^2 = 81 + 144
AB^2 = 225
AB = sqrt(225)
AB = 15 cm

Karena BC dan BD adalah garis singgung dari titik B ke lingkaran yang sama, maka panjang garis singgung dari B ke titik singgung adalah sama, yaitu BC = BD = 12 cm. Juga, garis AB membagi sudut CBD menjadi dua sama besar, dan segitiga ABC kongruen dengan segitiga ABD.

Untuk mencari panjang CD, kita perlu menyadari bahwa segitiga ABC siku-siku di C, dan AB adalah sisi miring. Jika kita menganggap CD sebagai garis yang ditarik dari titik C ke garis singgung BD, kita perlu informasi lebih lanjut tentang posisi C pada lingkaran atau hubungan antara C dan D.

Namun, jika kita mengasumsikan bahwa 'C' dalam 'panjang AC=9 cm' merujuk pada titik singgung pertama dan 'BC=12 cm' adalah panjang garis singgung dari B ke C, dan 'CD' adalah jarak antara titik singgung C dan titik lain D yang juga disinggung oleh garis dari B, maka ini menyiratkan bahwa C dan D adalah titik singgung yang sama jika hanya ada satu titik singgung dari B. Jika BC dan BD adalah dua garis singgung yang berbeda dari titik B ke lingkaran di titik C dan D, maka BC = BD = 12 cm. Segitiga ABC dan ABD adalah segitiga siku-siku di C dan D secara berturut-turut. AC = AD = 9 cm (jari-jari). Segitiga ABC kongruen dengan segitiga ABD.

Jika pertanyaan mengimplikasikan bahwa ada segitiga ABC siku-siku di C, dengan AC = 9 (jari-jari) dan BC = 12 (garis singgung), maka AB = 15. Jika ada titik D lain yang juga merupakan titik singgung dari B, maka BD = 12. Segitiga ABD juga siku-siku di D, dan AD = 9.

Mungkin ada kesalahpahaman dalam interpretasi soal, karena 'CD' biasanya merujuk pada jarak antara dua titik C dan D. Jika C dan D adalah dua titik singgung yang berbeda dari titik B ke lingkaran, maka CD bukanlah jarak langsung yang mudah dihitung tanpa informasi tambahan tentang sudut atau posisi relatif titik-titik tersebut.

Mari kita pertimbangkan interpretasi lain: Jika AC adalah jari-jari (9 cm) dan BC adalah garis singgung (12 cm), maka AB = 15 cm. Jika ada titik D sedemikian rupa sehingga BC dan BD adalah garis singgung, maka BC = BD = 12 cm. Segitiga ABC siku-siku di C. Jika D adalah titik lain pada lingkaran dan CD adalah sebuah garis, informasinya tidak cukup.

Namun, jika kita menganggap soal ini merujuk pada teorema dalam geometri lingkaran di mana jika dua garis singgung ditarik ke lingkaran dari titik luar, maka panjang kedua garis singgung tersebut sama. Dan jari-jari pada titik singgung tegak lurus terhadap garis singgung. Dalam segitiga siku-siku ABC (siku-siku di C), kita memiliki sisi AC=9 dan BC=12. Sisi miring AB = sqrt(9^2 + 12^2) = 15. Jika BD juga garis singgung dari B ke lingkaran di D, maka BD = BC = 12 dan AD = AC = 9. Segitiga ABD juga siku-siku di D.

Jika C dan D adalah dua titik singgung yang berbeda dari titik B, maka CD adalah tali busur yang menghubungkan kedua titik singgung tersebut. Dalam kasus ini, segitiga ABC dan ABD kongruen. Segitiga ABC siku-siku di C. Luas segitiga ABC = 1/2 * AC * BC = 1/2 * 9 * 12 = 54. Luas segitiga ABD juga 54. Luas layang-layang ABDC = 108. Garis AB adalah sumbu simetri layang-layang ini. CD tegak lurus terhadap AB.

Misalkan titik potong CD dan AB adalah E. Maka segitiga ACE siku-siku di E. Segitiga BCE siku-siku di E. Kita tahu AB=15, AC=9, BC=12. Dalam segitiga ABC, luasnya juga bisa dihitung sebagai 1/2 * AB * CE. Maka, 54 = 1/2 * 15 * CE. CE = 108/15 = 36/5 = 7.2 cm. Karena AB membagi CD menjadi dua sama panjang (karena kesimetrian layang-layang ABDC), maka CD = 2 * CE = 2 * 7.2 = 14.4 cm.

Jadi, panjang CD adalah 14,4 cm.