Luas irisan lingkaran K ekuivalen x^2+y^2=16 dan L

8π - 16

Pembahasan

Untuk mencari luas irisan dua lingkaran, pertama kita perlu menemukan titik potong kedua lingkaran tersebut. Lingkaran K: x^2 + y^2 = 16 (pusat O(0,0), jari-jari rK = 4). Lingkaran L: x^2 + y^2 + 8x + 8y + 16 = 0. Untuk menemukan pusat dan jari-jari L, kita lengkapi kuadrat: (x^2 + 8x) + (y^2 + 8y) = -16 => (x^2 + 8x + 16) + (y^2 + 8y + 16) = -16 + 16 + 16 => (x+4)^2 + (y+4)^2 = 16. Jadi, pusat L adalah P(-4, -4) dan jari-jari rL = 4. Karena kedua jari-jari sama (rK = rL = 4) dan pusat kedua lingkaran berbeda, irisan kedua lingkaran akan membentuk sebuah lensa. Untuk menghitung luas irisan, kita perlu mencari titik potong kedua lingkaran. Substitusikan x^2 + y^2 = 16 ke dalam persamaan L: 16 + 8x + 8y + 16 = 0 => 8x + 8y + 32 = 0 => x + y + 4 = 0 => y = -x - 4. Substitusikan y ke persamaan K: x^2 + (-x - 4)^2 = 16 => x^2 + (x^2 + 8x + 16) = 16 => 2x^2 + 8x = 0 => 2x(x + 4) = 0. Maka x = 0 atau x = -4. Jika x = 0, y = -0 - 4 = -4. Titik potong adalah (0, -4). Jika x = -4, y = -(-4) - 4 = 4 - 4 = 0. Titik potong adalah (-4, 0). Luas irisan dua lingkaran yang berjari-jari sama (r) dan jarak antar pusat (d) dapat dihitung dengan rumus: Luas = 2 * r^2 * arccos(d/(2r)) - (d/2) * sqrt(4r^2 - d^2). Jarak antara pusat O(0,0) dan P(-4,-4) adalah d = sqrt((-4-0)^2 + (-4-0)^2) = sqrt(16 + 16) = sqrt(32) = 4*sqrt(2). Karena rK = rL = 4, maka Luas = 2 * 4^2 * arccos((4*sqrt(2))/(2*4)) - ((4*sqrt(2))/2) * sqrt(4*4^2 - (4*sqrt(2))^2) = 32 * arccos(sqrt(2)/2) - (2*sqrt(2)) * sqrt(64 - 32) = 32 * (pi/4) - (2*sqrt(2)) * sqrt(32) = 8*pi - (2*sqrt(2)) * (4*sqrt(2)) = 8*pi - 16. Jadi, luas irisannya adalah 8π - 16.