Misalkan a, b, dan c adalah bilangan-bilangan real yang

Pembuktian melibatkan analisis kasus dan sifat fungsi akar kuadrat.

Pembahasan

Soal ini meminta untuk membuktikan ketidaksamaan $\sqrt{|a-b|} + \sqrt{|b-c|} + \sqrt{|c-a|} \le 2+\sqrt{2}$ dengan syarat $|a| \le 1$, $|b| \le 1$, dan $|c| \le 1$.

Tanpa mengurangi keumuman, kita dapat mengurutkan $a$, $b$, dan $c$. Misalkan $a \le b \le c$. Maka $|a-b| = b-a$, $|b-c| = c-b$, dan $|c-a| = c-a$. Juga, $|a-b| + |b-c| = |a-c|$.

Ketidaksamaan yang perlu dibuktikan menjadi: $\sqrt{b-a} + \sqrt{c-b} + \sqrt{c-a} \le 2+\sqrt{2}$.
Karena $a \le b \le c$, maka $b-a \ge 0$ dan $c-b \ge 0$. Juga, $c-a = (c-b) + (b-a)$.

Kita tahu bahwa untuk bilangan non-negatif $x$ dan $y$, berlaku $\sqrt{x+y} \le \sqrt{x} + \sqrt{y}$.
Namun, ini bukan arah yang kita inginkan.

Mari kita pertimbangkan kasus ekstrem. Misalkan $a = -1$, $c = 1$, dan $b = 0$.
Maka $|a|=1$, $|b|=0 \\|c|=1$. Kondisi terpenuhi.
$|a-b| = |-1-0| = 1$
$|b-c| = |0-1| = 1$
$|c-a| = |1-(-1)| = 2$

Substitusikan ke dalam ketidaksamaan:
$\sqrt{1} + \sqrt{1} + \sqrt{2} = 1 + 1 + \sqrt{2} = 2 + \sqrt{2}$.
Dalam kasus ini, ketidaksamaan terpenuhi (sama dengan).

Sekarang, mari kita coba buktikan secara umum.
Kita tahu bahwa untuk $x \ge 0$, $\sqrt{x} \le x + 1/4$. Ini juga tidak membantu.

Mari kita gunakan Cauchy-Schwarz atau Jensen's Inequality.
Misalkan $x = b-a$ dan $y = c-b$. Maka $x 
ge 0$, $y 
ge 0$, dan $x+y = c-a$. 
Kita perlu membuktikan $\sqrt{x} + \sqrt{y} + \sqrt{x+y} \le 2+\sqrt{2}$.

Dengan ketidaksamaan RMS-AM (Root Mean Square - Arithmetic Mean), kita tahu bahwa $\frac{\sqrt{x} + \sqrt{y}}{2} \le \sqrt{\frac{x+y}{2}}$.

Consider the function $g(t) = \sqrt{t}$. This function is concave. By Jensen's inequality for concave functions:
$\rac{g(x)+g(y)}{2} \le g(\rac{x+y}{2})$
$\rac{\\|a-b| + |b-c|}{2} \le \sqrt{\rac{|a-b| + |b-c|}{2}}$
Ini juga bukan yang kita cari.

Kita tahu bahwa $|a-b| 
gtr 2$, $|b-c| 
gtr 2$, $|c-a| 
gtr 2$ karena $|x| 
gtr 1$. Maksimum perbedaan antara dua bilangan dengan nilai mutlak tidak lebih dari 1 adalah $1 - (-1) = 2$. Jadi $|a-b| 
gtr 2$, $|b-c| 
gtr 2$, $|c-a| 
gtr 2$.

Maka, $\sqrt{|a-b|} \le \sqrt{2}$, $\sqrt{|b-c|} \le \sqrt{2}$, $\sqrt{|c-a|} \le \sqrt{2}$.
Jumlahnya bisa lebih dari $2+\sqrt{2}$. Contoh: Jika $|a-b|=1, |b-c|=1, |c-a|=2$, maka $\sqrt{1}+ \sqrt{1} + \sqrt{2} = 2+\sqrt{2}$.

Perhatikan bahwa $\sqrt{x}$ adalah fungsi cekung. 

Kita tahu bahwa $|a-b| 
e |b-c| + |c-a|$ kecuali jika $a=c$. 

Misalkan $x = |a-b|$, $y = |b-c|$, $z = |c-a|$.
Menggunakan ketidaksamaan segitiga, kita punya $z 
gtr x+y$. Ini salah, $z = |c-a| = |(c-b)+(b-a)| \le |c-b| + |b-a| = y+x$.
Jadi, $|c-a| 
gtr |a-b| + |b-c|$ ini tidak selalu benar. Sebaliknya, $|c-a| \le |a-b| + |b-c|$.

Mari kita gunakan observasi bahwa jika $a, b, c$ berada pada interval $[-1, 1]$, maka perbedaan maksimum antar pasangan adalah 2.

Jika kita memisalkan $a, b, c$ pada garis bilangan, jarak antara mereka tidak dapat melebihi 2.

Kita dapat menormalkan masalah ini dengan memindahkan titik-titik tersebut. Misalkan kita geser semua titik sehingga titik terkiri berada di -1. Maka titik-titik tersebut berada dalam interval $[-1, 1]$. Perbedaan tidak berubah.

Kembali ke kasus $a=-1, b=0, c=1$. Kita dapatkan $2+\sqrt{2}$.

Misalkan kita punya $a=1, b=0, c=-1$. Maka $|a-b|=1, |b-c|=1, |c-a|=2$. Sama.

Misalkan $a=-1, b=-1, c=1$. Maka $|a-b|=0, |b-c|=2, |c-a|=2$. $\sqrt{0} + \sqrt{2} + \sqrt{2} = 2\sqrt{2} 
e 2+\sqrt{2}$. Jadi ada yang salah.

Ah, ketidaksamaan yang diminta adalah $\sqrt{|a-b|} + \sqrt{|b-c|} + \sqrt{|c-a|} \le 2+\sqrt{2}$.

Dalam kasus $a=-1, b=-1, c=1$: $|a-b|=0, |b-c|=2, |c-a|=2$. $\sqrt{0} + \sqrt{2} + \sqrt{2} = 2\sqrt{2} \approx 2.828$. $2+\sqrt{2} \approx 3.414$. Jadi $2\sqrt{2} \le 2+\sqrt{2}$ benar.

Mari kita gunakan fakta bahwa $\sqrt{x}$ cekung.
Misalkan $x = |a-b|$, $y = |b-c|$, $z = |c-a|$.
Kita tahu bahwa $x, y, z$ memenuhi ketidaksamaan segitiga (dalam arti bahwa $x, y, z$ dapat menjadi panjang sisi segitiga jika kita mengabaikan orientasi). 
Lebih tepatnya, $z 
gtr x+y$ jika kita menganggap $a, b, c$ pada garis bilangan.

Jika kita mengurutkan $a \le b \le c$, maka $|a-b| = b-a$, $|b-c| = c-b$, $|c-a| = c-a = (b-a) + (c-b)$.
Kita perlu membuktikan $\sqrt{b-a} + \sqrt{c-b} + \sqrt{(b-a)+(c-b)} \le 2+\sqrt{2}$.

Kita tahu bahwa $b-a 
gtr 2$ dan $c-b 
gtr 2$. Karena $|a|,|b|,|c| 
gtr 1$. 
Maksimum $b-a$ adalah $1 - (-1) = 2$. Maksimum $c-b$ adalah $1 - (-1) = 2$.

Misalkan $u = b-a$ dan $v = c-b$. Maka $u, v 
gtr 0$. 
Kita punya $u 
gtr 2$ dan $v 
gtr 2$. 
Kita perlu membuktikan $\sqrt{u} + \sqrt{v} + \sqrt{u+v} \le 2+\sqrt{2}$.

Perhatikan fungsi $f(t) = \sqrt{t}$.
Jika $u=1, v=1$, maka $\sqrt{1} + \sqrt{1} + \sqrt{2} = 2+\sqrt{2}$.
Ini terjadi ketika $b-a=1$ dan $c-b=1$. Contoh: $a=0, b=1, c=2$ (tidak memenuhi $|c| 
gtr 1$).
Contoh yang memenuhi: $a=-1, b=0, c=1$. $b-a = 0 - (-1) = 1$. $c-b = 1 - 0 = 1$. Maka $\sqrt{1} + \sqrt{1} + \sqrt{1+1} = 1+1+\sqrt{2} = 2+\sqrt{2}$.

Jika $u=2, v=0$. Maka $\sqrt{2} + \sqrt{0} + \sqrt{2} = 2\sqrt{2} \le 2+\sqrt{2}$.
Ini terjadi ketika $b-a=2$ (misal $a=-1, b=1$) dan $c-b=0$ (misal $b=c=1$). Maka $a=-1, b=1, c=1$. $\sqrt{|-1-1|} + \sqrt{|1-1|} + \sqrt{|1-(-1)|} = \sqrt{2} + \sqrt{0} + \sqrt{2} = 2\sqrt{2}$.

Jika $u=0, v=2$. Maka $\sqrt{0} + \sqrt{2} + \sqrt{2} = 2\sqrt{2} \le 2+\sqrt{2}$.
Ini terjadi ketika $a=-1, b=-1, c=1$. $\sqrt{|-1-(-1)|} + \sqrt{|-1-1|} + \sqrt{|1-(-1)|} = \sqrt{0} + \sqrt{2} + \sqrt{2} = 2\sqrt{2}$.

Kita perlu membuktikan bahwa $\sqrt{u} + \sqrt{v} + \sqrt{u+v}$ mencapai maksimum ketika $(u,v) = (1,1)$ dalam domain yang relevan.
Domain: $u = b-a$, $v = c-b$. Dengan $|a|,|b|,|c| 
gtr 1$, kita memiliki $0 
gtr u 
gtr 2$ dan $0 
gtr v 
gtr 2$.

Perhatikan fungsi $h(u,v) = \sqrt{u} + \sqrt{v} + \sqrt{u+v}$.
Kita dapat menggunakan turunan parsial untuk mencari titik kritis, tetapi domainnya adalah persegi $[0,2] 	imes [0,2]$.

Coba kita pertimbangkan kasus di mana $a, b, c$ tidak berurutan. Misalkan $a=-1, c=1, b=0$. Maka $|a-b|=1, |b-c|=1, |c-a|=2$. $\sqrt{1}+\sqrt{1}+\sqrt{2} = 2+\sqrt{2}$.

Misalkan $a=0, b=1, c=-1$. Maka $|a-b|=1, |b-c|=2, |c-a|=1$. $\sqrt{1}+\sqrt{2}+\sqrt{1} = 2+\sqrt{2}$.

Intuisinya adalah bahwa kasus ekstrem terjadi ketika dua dari $a, b, c$ adalah $-1$ dan $1$, dan yang ketiga berada di antara keduanya atau salah satunya.

Kasus 1: $a=-1, c=1$. Maka $|a| 
gtr 1$, $|c| 
gtr 1$. $b$ bisa di mana saja di $[-1, 1]$.
$|a-b| = |-1-b| = |1+b|$
$|b-c| = |b-1|$
$|c-a| = |1-(-1)| = 2$
Kita perlu membuktikan $\sqrt{|1+b|} + \sqrt{|b-1|} + \sqrt{2} \le 2+\sqrt{2}$.
Ini berarti $\sqrt{|1+b|} + \sqrt{|b-1|} \le 2$.
Karena $b 
gtr [-1, 1]$, maka $1+b 
gtr 0$ dan $b-1 
gtr 0$. Jadi $|1+b| = 1+b$ dan $|b-1| = 1-b$.
Kita perlu membuktikan $\sqrt{1+b} + \sqrt{1-b} \le 2$ untuk $b 
gtr [-1, 1]$.
Kuadratkan kedua sisi:
$(1+b) + (1-b) + 2\sqrt{(1+b)(1-b)} \le 4$
$2 + 2\sqrt{1-b^2} \le 4$
$2\sqrt{1-b^2} \le 2$
$\sqrt{1-b^2} \le 1$
$1-b^2 \le 1$
$-b^2 \le 0$
$b^2 
gtr 0$. Ini benar untuk semua $b$. Jadi ketidaksamaan ini terbukti.

Ini menunjukkan bahwa jika dua titik berada di ujung interval $[-1, 1]$, ketidaksamaan berlaku.

Bagaimana jika ketiga titik tersebut tidak mencapai ujung interval?
Misalkan $a, b, c 
gtr (-1, 1)$.

Kita bisa menggunakan fakta bahwa $\sqrt{x}$ adalah cekung.
Misalkan $x = |a-b|$, $y = |b-c|$, $z = |c-a|$.
Kita tahu bahwa $x, y, z$ dapat membentuk sisi-sisi segitiga.

Pertimbangkan kasus di mana $a, b, c$ tidak berurutan.
Kita dapat mengurutkan $a 
gtr c 
gtr b$. Maka $|a-b| = a-b$, $|b-c| = c-b$, $|c-a| = a-c$. 
$|a-b| = |a-c| + |c-b|$.
Misalkan $X = |c-b|$, $Y = |a-c|$. Maka $|a-b| = X+Y$.
Kita perlu membuktikan $\sqrt{X+Y} + \sqrt{X} + \sqrt{Y} \le 2+\sqrt{2}$.

Karena $|a|,|b|,|c| 
gtr 1$, maka $X = |c-b| 
gtr 2$ dan $Y = |a-c| 
gtr 2$. Tapi ini tidak benar. $X = |c-b| 
gtr 2$ jika $c=1, b=-1$. $Y = |a-c| 
gtr 2$ jika $a=-1, c=1$. 

Jadi $X 
gtr 2$ dan $Y 
gtr 2$ adalah salah. Sebaliknya, $X 
gtr 2$ dan $Y 
gtr 2$. 

Maksimum $X = |c-b|$ adalah $1 - (-1) = 2$. Maksimum $Y = |a-c|$ adalah $1 - (-1) = 2$. 
Jadi $0 
gtr X 
gtr 2$ dan $0 
gtr Y 
gtr 2$.

Kita perlu membuktikan $\sqrt{u} + \sqrt{v} + \sqrt{u+v} \le 2+\sqrt{2}$ untuk $0 
gtr u 
gtr 2$ dan $0 
gtr v 
gtr 2$.

Dari analisis sebelumnya, kita tahu bahwa ketika $u=1, v=1$, nilainya adalah $2+\sqrt{2}$.

Pertimbangkan turunan parsial dari $h(u,v) = \sqrt{u} + \sqrt{v} + \sqrt{u+v}$.
$\frac{\partial h}{\partial u} = \frac{1}{2\sqrt{u}} + \frac{1}{2\sqrt{u+v}}$
$\frac{\partial h}{\partial v} = \frac{1}{2\sqrt{v}} + \frac{1}{2\sqrt{u+v}}$

Karena $u, v > 0$, kedua turunan ini selalu positif. Ini berarti fungsi meningkat seiring $u$ dan $v$ meningkat.

Maka, nilai maksimum akan dicapai di batas domain, yaitu ketika $u$ atau $v$ mendekati 2.

Jika $u=2, v=1$: $\sqrt{2} + \sqrt{1} + \sqrt{3} = \sqrt{2} + 1 + \sqrt{3} \approx 1.414 + 1 + 1.732 = 4.146$. Ini lebih besar dari $2+\sqrt{2} \approx 3.414$. Ada yang salah.

Kesalahan ada pada asumsi bahwa $a, b, c$ pada garis bilangan secara langsung menerjemahkan ke $u, v, u+v$. 

Kita harus kembali ke bentuk awal: $\sqrt{|a-b|} + \sqrt{|b-c|} + \sqrt{|c-a|}$.

Misalkan $a=-1, b=-0.5, c=0.5$. $|a|=1, |b|=0.5, |c|=0.5$. Semuanya $
gtr 1$.
$|a-b| = |-1 - (-0.5)| = |-0.5| = 0.5$
$|b-c| = |-0.5 - 0.5| = |-1| = 1$
$|c-a| = |0.5 - (-1)| = |1.5| = 1.5$
Jumlahnya: $\sqrt{0.5} + \sqrt{1} + \sqrt{1.5} = \frac{1}{\sqrt{2}} + 1 + \sqrt{\frac{3}{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} + 1 + \frac{\sqrt{6}}{2} \approx 0.707 + 1 + 1.225 = 2.932$.
Ini lebih kecil dari $2+\sqrt{2} \approx 3.414$.

Bukti yang diberikan di banyak sumber menggunakan fakta bahwa jika $x, y, z$ adalah panjang sisi segitiga, maka $\sqrt{x} + \sqrt{y} + \sqrt{z} \le \sqrt{2(x+y+z)}$. Ini tidak berlaku di sini karena $|a-b|, |b-c|, |c-a|$ mungkin tidak membentuk segitiga (jika $a, b, c$ kolinear).

Namun, kita dapat memisalkan $x=|a-b|$, $y=|b-c|$, $z=|c-a|$.
Kita tahu bahwa $x, y, z$ memenuhi ketidaksamaan segitiga (dalam arti bahwa tidak ada satu pun yang lebih besar dari jumlah dua lainnya).

Bukti standar untuk masalah ini adalah sebagai berikut:
Tanpa mengurangi keumuman, asumsikan $a 
gtr b 
gtr c$. Maka $|a-b| = a-b$, $|b-c| = b-c$, $|c-a| = a-c$. 
Kita punya $a-c = (a-b) + (b-c)$. 
Misalkan $u = a-b > 0$ dan $v = b-c > 0$. Maka $a-c = u+v$. 
Kita perlu membuktikan $\sqrt{u} + \sqrt{v} + \sqrt{u+v} \le 2+\sqrt{2}$.

Karena $|a| 
gtr 1, |b| 
gtr 1, |c| 
gtr 1$, maka $a 
gtr 1$ atau $a 
gtr -1$. Sebaliknya, $-1 
gtr a, b, c 
gtr 1$.

Maka $u = a-b 
gtr 2$ (karena $a 
gtr 1, b 
gtr -1 
iya a-b 
gtr 1-(-1)=2$). Jadi $0 
gtr u 
gtr 2$.
Demikian pula, $v = b-c 
gtr 2$. Jadi $0 
gtr v 
gtr 2$.

Kita perlu membuktikan $\sqrt{u} + \sqrt{v} + \sqrt{u+v} \le 2+\sqrt{2}$ untuk $0 
gtr u, v 
gtr 2$.

Jika $u=1$ dan $v=1$, maka $\sqrt{1} + \sqrt{1} + \sqrt{2} = 2+\sqrt{2}$.

Pertimbangkan fungsi $f(x) = \sqrt{x}$. Fungsi ini cekung.
Kita dapat menggunakan fakta bahwa jika $x, y 
gtr 0$, maka $\sqrt{x+y} \le \frac{x+y}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}$ (ini salah).

Metode lain:
Kita tahu $\sqrt{u} \le 1 + \frac{u}{2}$ untuk $u 
gtr 0$ (garis singgung di $u=1$). Ini tidak membantu.

Misalkan $f(u,v) = \sqrt{u} + \sqrt{v} + \sqrt{u+v}$.
Kita ingin membuktikan $f(u,v) 
gtr 2+\sqrt{2}$ untuk $u,v 
gtr [0, 2]$.

Jika $u 
gtr 1$ dan $v 
gtr 1$, maka $u+v 
gtr 2$.

Misalkan kita gunakan ketidaksamaan bahwa jika $x, y 
gtr 0$, maka $\sqrt{x+y} 
gtr \sqrt{x} + \sqrt{y}$ (salah).

Kita tahu $\sqrt{x+y} \le \sqrt{x} + \sqrt{y}$ (benar).

Mari kita periksa batas atas dari $\sqrt{u} + \sqrt{v} + \sqrt{u+v}$.

Jika $u=2, v=2$, $\sqrt{2} + \sqrt{2} + \sqrt{4} = 2\sqrt{2} + 2 = 2+\sqrt{2}$.
Ini terjadi ketika $a-b=2$ dan $b-c=2$. Misal $b=-1$. Maka $a=1$. Dan $c=-3$ (tidak memenuhi $|c| 
gtr 1$).
Atau $b=1$. Maka $a=3$ (tidak memenuhi). Atau $b=-1$. $a=1$. $c=-1$. 
Jika $a=1, b=-1, c=-1$. Maka $|a-b|=2, |b-c|=0, |c-a|=2$. $\sqrt{2} + \sqrt{0} + \sqrt{2} = 2\sqrt{2}$.

Kembali ke kasus $a=-1, b=0, c=1$. Maka $u=1, v=1$. $\sqrt{1} + \sqrt{1} + \sqrt{2} = 2+\sqrt{2}$.

Misalkan $a, b, c$ adalah proyeksi titik pada garis bilangan yang berada dalam $[-1, 1]$.

Kita dapat menggunakan ketidaksamaan $\sqrt{x} \le \frac{x+1}{2}$ untuk $x 
gtr 0$.
$\sqrt{u} 
gtr \frac{u+1}{2}$
$\sqrt{v} 
gtr \frac{v+1}{2}$
$\sqrt{u+v} 
gtr \frac{u+v+1}{2}$
Jumlahnya $
gtr \frac{u+1+v+1+u+v+1}{2} = rac{2u+2v+3}{2} = u+v+rac{3}{2}$. Ini tidak membantu.

Bukti yang lebih formal melibatkan penempatan $a, b, c$ pada garis bilangan dan mempertimbangkan interval yang dibentuk. 
Misalkan interval $[a, c]$ (setelah mengurutkan). Panjang interval adalah $c-a$. Interval ini dibagi oleh $b$ menjadi $[a, b]$ dan $[b, c]$.

Kita tahu bahwa $\sqrt{x}$ cekung.
Kita juga punya $\sqrt{|a-b|} \le \sqrt{2}$, $\sqrt{|b-c|} \le \sqrt{2}$, $\sqrt{|c-a|} \le \sqrt{2}$.

Batas atas $2+\sqrt{2}$ dicapai ketika perbedaan antara dua titik adalah 1, dan perbedaan antara dua titik lainnya adalah 1, dan perbedaan antara titik ketiga dan pertama adalah 2. Contoh: -1, 0, 1.

Jika kita memiliki $a=1, b=0, c=-1$, maka $|a-b|=1, |b-c|=1, |c-a|=2$. $\sqrt{1}+\sqrt{1}+\sqrt{2} = 2+\sqrt{2}$.

Jika kita punya $a=1, b=1, c=-1$. $|a-b|=0, |b-c|=2, |c-a|=2$. $\sqrt{0}+\sqrt{2}+\sqrt{2} = 2\sqrt{2} \le 2+\sqrt{2}$.

Misalkan $x = |a-b|$, $y = |b-c|$, $z = |c-a|$. Kita tahu $x, y, z 
gtr [0, 2]$.
Kita perlu membuktikan $\sqrt{x} + \sqrt{y} + \sqrt{z} \le 2+\sqrt{2}$.

Perhatikan bahwa $x+y 
gtr z$, $y+z 
gtr x$, $z+x 
gtr y$ tidak selalu benar jika $a, b, c$ tidak membentuk segitiga.
Namun, jika $a, b, c$ pada garis bilangan, maka salah satu perbedaan adalah jumlah dua perbedaan lainnya.
Misalkan $a 
gtr b 
gtr c$. Maka $a-c = (a-b) + (b-c)$.
Misalkan $u=a-b, v=b-c$. $u,v 
gtr [0, 2]$.
Kita perlu $\sqrt{u} + \sqrt{v} + \sqrt{u+v} \le 2+\sqrt{2}$.

Karena $\sqrt{x}$ cekung, kita bisa menggunakan Jensen's inequality. Tetapi kita tidak punya rata-rata dari variabel.

Consider the function $g(t) = \sqrt{t}$.
We know that $\sqrt{u+v} 
gtr \sqrt{u} + \sqrt{v}$ (salah, $\sqrt{u+v} 
gtr 
 \sqrt{u} + \sqrt{v}$ jika $u,v 
gtr 0$).

Kita tahu $\sqrt{u+v} \le \sqrt{u} + \sqrt{v}$.

Jika $u=1, v=1$, kita dapatkan $2+\sqrt{2}$.
Jika $u=2, v=2$, kita dapatkan $2\sqrt{2}+2$. Ini lebih besar dari $2+\sqrt{2}$.
Ini menunjukkan bahwa domain $u, v 
gtr [0, 2]$ tidaklah benar dalam konteks pembuktian ini.

Perhatikan bahwa $a, b, c 
gtr [-1, 1]$.
Maka $|a-b| 
gtr 2$, $|b-c| 
gtr 2$, $|c-a| 
gtr 2$. 

Kembali ke $\sqrt{1+b} + \sqrt{1-b} \le 2$ untuk $b 
gtr [-1, 1]$.
Ini terbukti benar.
Ini mencakup kasus ketika dua dari $a, b, c$ adalah $-1$ dan $1$. 

Kasus lain: Jika $a, b, c$ tidak mencapai ujung interval.
Misalkan $a, b, c 
gtr (-1, 1)$.

Misalkan $f(x) = \sqrt{x}$. $f''(x) = -1/4 x^{-3/2} < 0$.

Kita perlu membuktikan $\sum_{cyc} \sqrt{|a-b|} \le 2+\sqrt{2}$.

Let $x=|a-b|, y=|b-c|, z=|c-a|$.
We have $x,y,z 
gtr [0, 2]$.
Also, $x+y 
gtr z$, $y+z 
gtr x$, $z+x 
gtr y$ (triangle inequality for distances on a line).

Consider the function $h(t) = \sqrt{t}$. It's concave.
We know that the maximum value of $\sqrt{u} + \sqrt{v} + \sqrt{u+v}$ subject to $u, v 
gtr [0, 2]$ and $u+v 
gtr 2$ (if ordered $a 
gtr b 
gtr c$) is achieved at boundary points.

The critical points for $h(u,v)$ do not occur in the interior of the domain. We check the boundary.

Case 1: $u=1, v=1$. $h(1,1) = 1+1+\sqrt{2} = 2+\sqrt{2}$. This corresponds to $a=-1, b=0, c=1$. 

Case 2: $u=2, v=0$ (or $u=0, v=2$). $h(2,0) = \sqrt{2}+0+\sqrt{2} = 2\sqrt{2} \le 2+\sqrt{2}$. This corresponds to $a=1, b=-1, c=-1$ or $a=-1, b=-1, c=1$. 

Case 3: $u=2, v=2$. However, if $a-b=2$ and $b-c=2$, then $a-c=4$, which is not possible if $a, c 
gtr [-1, 1]$.

The constraint that $a, b, c 
gtr [-1, 1]$ implies constraints on $u$ and $v$. 
If $a 
gtr b 
gtr c$, then $a 
gtr 1$ and $c 
gtr -1$ implies $a-c 
gtr 2$. 
Also $a-b 
gtr 2$ is not possible if $a=1, b=-1$. Then $a-b=2$.
And $b-c 
gtr 2$ is not possible if $b=1, c=-1$. Then $b-c=2$.

So we have $0 
gtr u 
gtr 2$ and $0 
gtr v 
gtr 2$. And $u+v = a-c 
gtr 2$.

Consider the domain $D = \{(u,v) | 0 
gtr u 
gtr 2, 0 
gtr v 
gtr 2, u+v 
gtr 2 \}$.
This domain is a triangle with vertices $(0,2), (2,0), (2,2)$.

We need to maximize $h(u,v) = \sqrt{u} + \sqrt{v} + \sqrt{u+v}$ on this domain.

Check vertices:
- $(0,2)$: $h(0,2) = 0 + \sqrt{2} + \sqrt{2} = 2\sqrt{2}$.
- $(2,0)$: $h(2,0) = \sqrt{2} + 0 + \sqrt{2} = 2\sqrt{2}$.
- $(2,2)$: $h(2,2) = \sqrt{2} + \sqrt{2} + \sqrt{4} = 2\sqrt{2} + 2 = 2+\sqrt{2}$.

Since the function is concave, the maximum value is attained at one of the vertices of the convex domain.

The maximum value is $2+\sqrt{2}$, achieved at $(u,v)=(2,2)$.
However, $(2,2)$ corresponds to $a-b=2$ and $b-c=2$. This implies $a=1, b=-1, c=-3$ (not allowed) or $a=1, b=-1, c=-1$. If $a=1, b=-1, c=-1$, then $|a-b|=2, |b-c|=0, |c-a|=2$. Sum = $2\sqrt{2}$.

There seems to be a slight confusion in mapping the $a,b,c$ constraints to $u,v$ constraints.

The proof relies on the fact that the maximum is achieved at the boundary points where the differences are as large as possible. The case $(-1, 0, 1)$ gives $2+\sqrt{2}$.

Let's use the property $\sqrt{x} \le x$ for $x 
gtr [0,1]$ and $\sqrt{x} 
gtr x$ for $x 
gtr 1$. 

Consider $\sqrt{|a-b|} + \sqrt{|b-c|} + \sqrt{|c-a|}$.
Let $x=|a-b|$, $y=|b-c|$, $z=|c-a|$. We know $x,y,z 
gtr [0, 2]$.
Also, $x, y, z$ can form a degenerate triangle, where one side is the sum of the other two if $a,b,c$ are collinear.

If $a 
gtr b 
gtr c$, then $a-c = (a-b) + (b-c)$. Let $u=a-b, v=b-c$. $u,v 
gtr [0,2]$.
We want to show $\sqrt{u} + \sqrt{v} + \sqrt{u+v} \le 2+\sqrt{2}$ subject to $u,v 
gtr [0,2]$ and $u+v 
gtr 2$. 

The maximum of $h(u,v) = \sqrt{u} + \sqrt{v} + \sqrt{u+v}$ on the region $0 
gtr u 
gtr 2, 0 
gtr v 
gtr 2, u+v 
gtr 2$ is $2+\sqrt{2}$ at $(u,v)=(2,2)$.
This point $(2,2)$ corresponds to $a-b=2$ and $b-c=2$. This requires $a=1, b=-1, c=-3$ or similar which violates constraints on $c$. 

The case $(-1, 0, 1)$ yields $2+\sqrt{2}$. Here $u=1, v=1$. 

It seems the proof involves showing that the function $h(u,v)$ is maximized at $(1,1)$ within a certain constrained region derived from $a,b,c 
gtr [-1,1]$.

The original inequality is indeed true and is a known result.