Misalkan diberikan bilangan kompleks z dengan z + 1/z

Dengan menggunakan definisi z = x + iy dan syarat Im(z + 1/z) = 0, kita dapat menyederhanakan persamaan menjadi x² + y² = 1, yang merupakan definisi dari |z| = 1.

Pembahasan

Diberikan bilangan kompleks z dengan syarat z + 1/z bernilai real dan Im(z) ≠ 0. Kita perlu menunjukkan bahwa |z| = 1.

Misalkan z = x + iy, di mana x adalah bagian real (Re(z)) dan y adalah bagian imajiner (Im(z)).
Diketahui Im(z) ≠ 0, yang berarti y ≠ 0.

Sekarang kita substitusikan z ke dalam ekspresi z + 1/z:

z + 1/z = (x + iy) + 1/(x + iy)

Untuk menyederhanakan 1/(x + iy), kita kalikan dengan konjugatnya:
1/(x + iy) = 1/(x + iy) * (x - iy)/(x - iy) = (x - iy) / (x^2 - (iy)^2) = (x - iy) / (x^2 + y^2)

Jadi,
z + 1/z = (x + iy) + (x - iy) / (x^2 + y^2)

Gabungkan bagian real dan imajiner:
z + 1/z = [x + x / (x^2 + y^2)] + i[y - y / (x^2 + y^2)]

Kita diberitahu bahwa z + 1/z bernilai real. Ini berarti bagian imajiner dari ekspresi tersebut harus nol:
Im(z + 1/z) = y - y / (x^2 + y^2) = 0

Karena kita tahu bahwa y ≠ 0, kita bisa membagi kedua sisi dengan y:
1 - 1 / (x^2 + y^2) = 0

Pindahkan 1 ke sisi kanan:
-1 / (x^2 + y^2) = -1

Kalikan kedua sisi dengan -1:
1 / (x^2 + y^2) = 1

Kalikan kedua sisi dengan (x^2 + y^2):
x^2 + y^2 = 1

Sekarang, ingat definisi modulus (atau nilai absolut) dari bilangan kompleks z = x + iy:
|z| = √(x^2 + y^2)

Karena kita menemukan bahwa x^2 + y^2 = 1, maka:
|z| = √1
|z| = 1

Jadi, terbukti bahwa jika z + 1/z bernilai real dan Im(z) ≠ 0, maka |z| = 1.