Misalkan, titik P(x, y) berada di garis dengan persamaan

Posisi P adalah ketika x=2 dan satu nilai x lain yang memenuhi persamaan kubik 3x^3 + 11x^2 - 16x + 20 = 0 dalam rentang [0, 7].

Pembahasan

Untuk menentukan dua posisi P sehingga kedua segitiga yang terbentuk mempunyai luas yang sama besar, kita perlu mengikuti langkah-langkah berikut:

1. **Persamaan Garis dan Titik P:**
Titik P(x, y) berada pada garis y = x + 5. Ini berarti koordinat P dapat ditulis sebagai (x, x + 5).

2. **Garis PQ:**
Titik Q memiliki koordinat (0, 7).
Gradien garis PQ (m_PQ) dihitung sebagai: m_PQ = (y_P - y_Q) / (x_P - x_Q) = ((x + 5) - 7) / (x - 0) = (x - 2) / x.

3. **Garis Tegak Lurus PQ:**
Melalui P, ditarik garis tegak lurus terhadap PQ. Gradien garis tegak lurus (m_tegak_lurus) adalah negatif kebalikan dari m_PQ. Jadi, m_tegak_lurus = -1 / m_PQ = -x / (x - 2).

4. **Titik R:**
Garis tegak lurus ini memotong sumbu X di titik R. Persamaan garis yang melalui P(x, x+5) dengan gradien m_tegak_lurus adalah:
y - (x + 5) = [-x / (x - 2)] * (X - x).
Karena R berada di sumbu X, maka y = 0. Substitusikan y = 0 ke dalam persamaan:
0 - (x + 5) = [-x / (x - 2)] * (X_R - x).
- (x + 5) = [-x / (x - 2)] * (X_R - x).
(x + 5)(x - 2) / x = X_R - x.
X_R = x + (x^2 + 3x - 10) / x = (x^2 + x^2 + 3x - 10) / x = (2x^2 + 3x - 10) / x.
Jadi, koordinat R adalah ((2x^2 + 3x - 10) / x, 0).

5. **Luas Segitiga:**
Kita memiliki dua segitiga: segitiga PQR dan segitiga yang dibentuk oleh P, Q, dan proyeksi P pada sumbu X (misalnya P'). Karena R berada di sumbu X, kita dapat menganggap segitiga pertama adalah PQR dan segitiga kedua adalah segitiga yang dibentuk oleh P, Q, dan titik potong garis PQ dengan sumbu X. Namun, berdasarkan deskripsi soal, tampaknya ada dua segitiga yang dimaksud adalah segitiga yang dibentuk oleh P, Q, R dan segitiga lain yang diasumsikan memiliki alas pada sumbu X.

Mari kita asumsikan dua segitiga yang dimaksud adalah segitiga yang dibentuk oleh P, Q, dan R; dan segitiga yang dibentuk oleh titik asal O(0,0), P(x, x+5), dan proyeksi P pada sumbu X, yaitu P'(x,0).

Luas Segitiga PQR:
Kita dapat menggunakan determinan untuk menghitung luas segitiga dengan titik P(x, x+5), Q(0, 7), dan R((2x^2 + 3x - 10) / x, 0).
Luas_PQR = 1/2 |x(7-0) + 0(0-(x+5)) + ((2x^2 + 3x - 10) / x)((x+5)-7)| 
Luas_PQR = 1/2 |7x + ((2x^2 + 3x - 10) / x)(x-2)| 
Luas_PQR = 1/2 |7x + (2x^3 + 3x^2 - 10x - 4x^2 - 6x + 20) / x| 
Luas_PQR = 1/2 |7x + (2x^3 - x^2 - 16x + 20) / x| 
Luas_PQR = 1/2 |(7x^2 + 2x^3 - x^2 - 16x + 20) / x| 
Luas_PQR = 1/2 |(2x^3 + 6x^2 - 16x + 20) / x| 
Luas_PQR = |x^3 + 3x^2 - 8x + 10| / |x|

Luas Segitiga OP'P (dengan O=(0,0), P'=(x,0), P=(x, x+5)):
Ini adalah segitiga siku-siku dengan alas x dan tinggi x+5.
Luas_OP'P = 1/2 * alas * tinggi = 1/2 * |x| * |x+5|.
Karena 0 <= x <= 7, maka x >= 0 dan x+5 > 0.
Luas_OP'P = 1/2 * x * (x + 5) = 1/2 * (x^2 + 5x).

6. **Menyamakan Luas:**
Kita perlu menyamakan kedua luas tersebut: Luas_PQR = Luas_OP'P.
|x^3 + 3x^2 - 8x + 10| / |x| = 1/2 * (x^2 + 5x).
Karena 0 <= x <= 7, maka x > 0, sehingga |x| = x.
|x^3 + 3x^2 - 8x + 10| / x = 1/2 * (x^2 + 5x).
|x^3 + 3x^2 - 8x + 10| = 1/2 * x * (x^2 + 5x) = 1/2 * (x^3 + 5x^2).

Sekarang kita punya dua kasus karena ada nilai absolut:

**Kasus 1: x^3 + 3x^2 - 8x + 10 = 1/2 * (x^3 + 5x^2)**
2(x^3 + 3x^2 - 8x + 10) = x^3 + 5x^2
2x^3 + 6x^2 - 16x + 20 = x^3 + 5x^2
x^3 + x^2 - 16x + 20 = 0.

Kita perlu mencari akar dari polinomial ini dalam rentang [0, 7].
Mari kita uji beberapa nilai:
Jika x = 1: 1 + 1 - 16 + 20 = 6 != 0
Jika x = 2: 8 + 4 - 32 + 20 = 0. Jadi, x = 2 adalah salah satu solusi.
Jika x = 3: 27 + 9 - 48 + 20 = 8 != 0
Jika x = 4: 64 + 16 - 64 + 20 = 36 != 0

Untuk mencari akar lain, kita bisa membagi (x^3 + x^2 - 16x + 20) dengan (x - 2).
Dengan pembagian polinomial, kita dapatkan: (x - 2)(x^2 + 3x - 10) = 0.
Faktorkan kuadrat: (x - 2)(x + 5)(x - 2) = 0.
(x - 2)^2 (x + 5) = 0.
Akar-akarnya adalah x = 2 (dengan multiplisitas 2) dan x = -5. Karena kita memiliki batasan 0 <= x <= 7, maka x = 2 adalah solusi dari kasus ini.

**Kasus 2: x^3 + 3x^2 - 8x + 10 = -1/2 * (x^3 + 5x^2)**
2(x^3 + 3x^2 - 8x + 10) = -(x^3 + 5x^2)
2x^3 + 6x^2 - 16x + 20 = -x^3 - 5x^2
3x^3 + 11x^2 - 16x + 20 = 0.

Kita perlu mencari akar dari polinomial ini dalam rentang [0, 7].
Mari kita uji beberapa nilai:
Jika x = 1: 3 + 11 - 16 + 20 = 18 != 0
Jika x = 2: 3(8) + 11(4) - 16(2) + 20 = 24 + 44 - 32 + 20 = 56 != 0

Untuk mencari akar dari persamaan kubik ini, kita bisa mencoba metode numerik atau mencari faktor rasional jika ada.
Misalkan kita coba x = -4 (walaupun di luar rentang, untuk menguji faktor):
3(-64) + 11(16) - 16(-4) + 20 = -192 + 176 + 64 + 20 = 68 != 0.

Perlu dicatat bahwa interpretasi