Misalkan y=x^3-x^2-x+4 a. Tentukan y' dan faktorkan bentuk

y'=3x²-2x-1=(3x+1)(x-1); titik stasioner (-1/3, 113/27) maks, (1,3) min.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan soal ini, kita perlu menggunakan konsep turunan pertama dan kedua untuk menganalisis fungsi.

Diketahui fungsi y = x³ - x² - x + 4.

a. Tentukan y' dan faktorkan bentuk kuadrat yang didapat.
Turunan pertama (y') dari y terhadap x adalah:
y' = d/dx (x³ - x² - x + 4)
y' = 3x² - 2x - 1

Untuk memfaktorkan bentuk kuadrat y' = 3x² - 2x - 1, kita cari dua bilangan yang jika dikalikan menghasilkan 3*(-1) = -3 dan jika dijumlahkan menghasilkan -2. Bilangan tersebut adalah -3 dan 1.
3x² - 3x + x - 1
3x(x - 1) + 1(x - 1)
(3x + 1)(x - 1)
Jadi, y' = (3x + 1)(x - 1).

b. Tentukan nilai x yang memenuhi y'(x)=0 dan nilai y yang bersesuaian.
Untuk mencari titik stasioner, kita atur y' = 0:
(3x + 1)(x - 1) = 0
Ini memberikan dua solusi untuk x:
3x + 1 = 0  => x = -1/3
x - 1 = 0   => x = 1

Sekarang kita cari nilai y yang bersesuaian untuk nilai x tersebut:
Jika x = -1/3:
y = (-1/3)³ - (-1/3)² - (-1/3) + 4
y = -1/27 - 1/9 + 1/3 + 4
y = -1/27 - 3/27 + 9/27 + 108/27
y = ( -1 - 3 + 9 + 108) / 27
y = 113/27
Jadi, titik stasioner pertama adalah (-1/3, 113/27).

Jika x = 1:
y = (1)³ - (1)² - (1) + 4
y = 1 - 1 - 1 + 4
y = 3
Jadi, titik stasioner kedua adalah (1, 3).

c. Klasifikasikan jenis titik stasioner sebagai maksimum, minimum, atau titik belok dengan menggunakan tabel turunan.
Kita akan menggunakan turunan kedua (y'') untuk mengklasifikasikan titik stasioner.

Turunan kedua (y'') adalah turunan dari y':
y'' = d/dx (3x² - 2x - 1)
y'' = 6x - 2

Sekarang kita evaluasi y'' pada titik-titik stasioner:
Untuk x = -1/3:
y''(-1/3) = 6(-1/3) - 2
y''(-1/3) = -2 - 2
y''(-1/3) = -4
Karena y''(-1/3) < 0, maka titik (-1/3, 113/27) adalah titik maksimum lokal.

Untuk x = 1:
y''(1) = 6(1) - 2
y''(1) = 6 - 2
y''(1) = 4
Karena y''(1) > 0, maka titik (1, 3) adalah titik minimum lokal.

d. Gambar grafiknya dengan bantuan beberapa titik lain.
Kita sudah memiliki titik stasioner:
Maksimum lokal: (-1/3, 113/27) ≈ (-0.33, 4.19)
Minimum lokal: (1, 3)

Mari kita cari beberapa titik lain:
Jika x = 0:
y = 0³ - 0² - 0 + 4 = 4. Titik (0, 4).
Jika x = 2:
y = 2³ - 2² - 2 + 4 = 8 - 4 - 2 + 4 = 6. Titik (2, 6).
Jika x = -1:
y = (-1)³ - (-1)² - (-1) + 4 = -1 - 1 + 1 + 4 = 3. Titik (-1, 3).

Dengan titik-titik ini, kita bisa mulai menggambar grafik fungsi.
Grafik akan naik hingga x = -1/3, kemudian turun hingga x = 1, lalu naik kembali. Terdapat titik maksimum lokal di sekitar x = -0.33 dan titik minimum lokal di x = 1.