Misalkan z1 dan z2 adalah bilangan kompleks, periksa apakah

Tidak selalu real, tergantung pada nilai z1 dan z2.

Pembahasan

Untuk memeriksa apakah z1 * z2 + z1 * z2 bernilai real atau tidak, kita perlu memahami sifat perkalian bilangan kompleks.

Misalkan z1 = a + bi dan z2 = c + di, di mana a, b, c, d adalah bilangan real dan i adalah unit imajiner (i² = -1).

Perkalian z1 * z2:
z1 * z2 = (a + bi)(c + di)
z1 * z2 = ac + adi + bci + bdi²
z1 * z2 = ac + (ad + bc)i - bd
z1 * z2 = (ac - bd) + (ad + bc)i

Ekspresi yang diberikan adalah z1 * z2 + z1 * z2, yang sama dengan 2 * (z1 * z2).

2 * (z1 * z2) = 2 * [(ac - bd) + (ad + bc)i]
2 * (z1 * z2) = 2(ac - bd) + 2(ad + bc)i

Sebuah bilangan kompleks bernilai real jika bagian imajinernya adalah nol. Dalam ekspresi 2(ac - bd) + 2(ad + bc)i, bagian imajinernya adalah 2(ad + bc).

Agar ekspresi ini bernilai real, maka 2(ad + bc) harus sama dengan 0.
Ini berarti ad + bc = 0.

Kondisi ad + bc = 0 tidak selalu terpenuhi untuk sembarang bilangan kompleks z1 dan z2. Misalnya, jika z1 = 1 + i dan z2 = 1 + i:
a=1, b=1, c=1, d=1
ad + bc = (1)(1) + (1)(1) = 1 + 1 = 2 ≠ 0.

Dalam kasus ini, z1 * z2 = (1+i)(1+i) = 1 + i + i + i² = 1 + 2i - 1 = 2i.
Maka, 2 * (z1 * z2) = 2 * (2i) = 4i, yang merupakan bilangan imajiner murni.

Kesimpulan: Ekspresi z1 * z2 + z1 * z2 (atau 2 * z1 * z2) tidak selalu bernilai real. Nilainya hanya akan real jika bagian imajiner dari z1 * z2 adalah nol.