Nilai dai lim _(x -> tak hingga) (tan

Nilai limitnya adalah 4√3.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan limit ini, kita akan menggunakan substitusi dan sifat limit.

Limit yang diberikan adalah: lim (x -> tak hingga) [tan(4/x) / (sqrt(3 + 2/x) - sqrt(3))]

Ketika x mendekati tak hingga (x -> ∞), maka 1/x akan mendekati 0 (1/x -> 0).

Kita dapat melakukan substitusi u = 1/x. Maka, ketika x -> ∞, u -> 0.

Limit tersebut menjadi: lim (u -> 0) [tan(4u) / (sqrt(3 + 2u) - sqrt(3))]

Sekarang kita punya bentuk tak tentu 0/0 jika kita substitusi u=0 langsung ke tan(4u) (tan(0)=0) dan penyebutnya (sqrt(3) - sqrt(3) = 0).

Kita bisa menggunakan aturan L'Hopital atau mengalikan dengan akar sekawan.

Metode 1: Mengalikan dengan akar sekawan.
Kalikan pembilang dan penyebut dengan (sqrt(3 + 2u) + sqrt(3)).

= lim (u -> 0) [tan(4u) * (sqrt(3 + 2u) + sqrt(3))] / [(sqrt(3 + 2u) - sqrt(3)) * (sqrt(3 + 2u) + sqrt(3))]

= lim (u -> 0) [tan(4u) * (sqrt(3 + 2u) + sqrt(3))] / [(3 + 2u) - 3]

= lim (u -> 0) [tan(4u) * (sqrt(3 + 2u) + sqrt(3))] / [2u]

Kita tahu bahwa lim (u -> 0) [tan(au) / u] = a.
Jadi, kita bisa memisahkan limitnya:

= lim (u -> 0) [tan(4u) / u] * lim (u -> 0) [(sqrt(3 + 2u) + sqrt(3)) / 2]

= 4 * [(sqrt(3 + 0) + sqrt(3)) / 2]

= 4 * [(sqrt(3) + sqrt(3)) / 2]

= 4 * [2 * sqrt(3) / 2]

= 4 * sqrt(3)

Metode 2: Menggunakan aturan L'Hopital.
Karena kita punya bentuk 0/0, kita bisa menurunkan pembilang dan penyebut terhadap u.

Turunan dari tan(4u) adalah sec^2(4u) * 4.
Turunan dari sqrt(3 + 2u) adalah 1/2 * (3 + 2u)^(-1/2) * 2 = (3 + 2u)^(-1/2).
Turunan dari -sqrt(3) adalah 0.

Jadi, limitnya menjadi:

= lim (u -> 0) [4 * sec^2(4u)] / [(3 + 2u)^(-1/2)]

Sekarang substitusi u = 0:

= [4 * sec^2(0)] / [(3 + 0)^(-1/2)]

= [4 * (1)^2] / [3^(-1/2)]

= 4 / (1 / sqrt(3))

= 4 * sqrt(3)

Jadi, nilai limitnya adalah 4 * sqrt(3).