Nilai tan 255 - tan 285 adalah . . . .

Nilai tan 255° - tan 285° adalah 4 + 2√3.

Pembahasan

Untuk menghitung nilai tan 255° - tan 285°, kita bisa menggunakan identitas trigonometri. 
Pertama, kita cari nilai tan 255° dan tan 285°.

Untuk tan 255°:
255° = 210° + 45° atau 255° = 270° - 15°
Menggunakan tan(A + B) = (tan A + tan B) / (1 - tan A tan B):
tan 255° = tan (210° + 45°) = (tan 210° + tan 45°) / (1 - tan 210° tan 45°)
Kita tahu tan 210° = tan (180° + 30°) = tan 30° = 1/√3, dan tan 45° = 1.
Jadi, tan 255° = ((1/√3) + 1) / (1 - (1/√3) * 1) = ((1 + √3)/√3) / ((√3 - 1)/√3) = (1 + √3) / (√3 - 1).
Untuk merasionalkan, kalikan pembilang dan penyebut dengan (√3 + 1):
tan 255° = [(1 + √3)(√3 + 1)] / [(√3 - 1)(√3 + 1)] = (1 + 2√3 + 3) / (3 - 1) = (4 + 2√3) / 2 = 2 + √3.

Untuk tan 285°:
285° = 360° - 75° atau 285° = 240° + 45°
Menggunakan tan(A - B) = (tan A - tan B) / (1 + tan A tan B):
tan 285° = tan (360° - 75°) = -tan 75°.
Untuk tan 75° = tan (45° + 30°) = (tan 45° + tan 30°) / (1 - tan 45° tan 30°) = (1 + 1/√3) / (1 - 1/√3) = ((√3 + 1)/√3) / ((√3 - 1)/√3) = (√3 + 1) / (√3 - 1).
Dirasionalkan menjadi 2 + √3.
Jadi, tan 285° = -tan 75° = -(2 + √3) = -2 - √3.

Sekarang hitung tan 255° - tan 285°:
(2 + √3) - (-2 - √3) = 2 + √3 + 2 + √3 = 4 + 2√3.

Cara lain menggunakan tan(270° - α) = cot α:
tan 285° = tan (270° + 15°) = -cot 15°.
Karena cot 15° = 1 / tan 15°.
tan 15° = tan(45° - 30°) = (tan 45° - tan 30°) / (1 + tan 45° tan 30°) = (1 - 1/√3) / (1 + 1/√3) = (√3 - 1) / (√3 + 1) = 2 - √3.
Maka, tan 285° = -1 / (2 - √3) = -(2 + √3) = -2 - √3.

Jadi, nilai tan 255° - tan 285° = (2 + √3) - (-2 - √3) = 4 + 2√3.