Nilai dari lim _(n -> tak

Suku (1 - 1/k^2) dapat ditulis sebagai (k-1)(k+1)/k^2. Produk tak hingga ini menyederhanakan menjadi (n+1)/(2n) saat n mendekati tak hingga, yang limitnya adalah 1/2.

Pembahasan

Soal ini meminta untuk mengevaluasi limit dari sebuah produk tak hingga:
L = lim (n -> tak hingga) [(1 - 1/2^2)(1 - 1/3^2)(1 - 1/4^2)...(1 - 1/n^2)]

Mari kita analisis suku-suku dalam produk tersebut:
(1 - 1/k^2) = (k^2 - 1)/k^2 = (k-1)(k+1)/k^2

Sekarang, mari kita tulis ulang produknya:
P_n = (1 - 1/2^2)(1 - 1/3^2)(1 - 1/4^2)...(1 - 1/n^2)
   = [(2^2-1)/(2^2)] * [(3^2-1)/(3^2)] * [(4^2-1)/(4^2)] * ... * [(n^2-1)/(n^2)]
   = [(1*3)/(2*2)] * [(2*4)/(3*3)] * [(3*5)/(4*4)] * ... * [((n-1)(n+1))/(n*n)]

Perhatikan bahwa banyak suku yang saling menghilangkan (telescoping product):
Untuk suku x-koordinat, (k-1) di pembilang akan menghilangkan (k) di penyebut suku sebelumnya.
Untuk suku y-koordinat, (k+1) di pembilang akan menghilangkan (k+2) di penyebut suku berikutnya.

Mari kita tulis ulang P_n dengan ekspansi:
P_n = [ (1*3)/(2*2) ] * [ (2*4)/(3*3) ] * [ (3*5)/(4*4) ] * ... * [ ((n-1)*n)/( (n-1)*(n-1) ) ] * [ (n*(n+1))/(n*n) ]

Setelah pembatalan:
P_n = [ (1) / (2) ] * [ (2) / (3) ] * [ (3) / (4) ] * ... * [ (n-1) / n ] * [ (n) / (n+1) ] * [ (n+1) / n ]  <- Ini salah

Mari kita susun ulang suku-suku yang saling menghilangkan:
P_n = [1/2 * 2/3 * 3/4 * ... * (n-1)/n] * [3/2 * 4/3 * 5/4 * ... * (n+1)/n]
P_n = [1/n] * [(n+1)/2]
P_n = (n+1)/(2n)

Sekarang kita ambil limitnya saat n mendekati tak hingga:
L = lim (n -> tak hingga) (n+1)/(2n)
Untuk mencari limit ini, kita bisa membagi pembilang dan penyebut dengan n:
L = lim (n -> tak hingga) (1 + 1/n) / 2
Saat n -> tak hingga, 1/n -> 0.
L = (1 + 0) / 2
L = 1/2

Jadi, nilai dari limit tersebut adalah 1/2.