Nilai dari lim theta->phi/2 sec^2 theta/sec^2 5theta adalah

25

Pembahasan

Untuk menghitung nilai dari $\lim_{\theta \to \pi/2} \frac{\sec^2 \theta}{\sec^2 (5\theta)}$, kita perlu menggunakan sifat-sifat limit dan identitas trigonometri. Ingat bahwa $\sec \theta = \frac{1}{\cos \theta}$.

Substitusikan identitas $\sec \theta$ ke dalam persamaan:
$$ \lim_{\theta \to \pi/2} \frac{(\frac{1}{\cos \theta})^2}{(\frac{1}{\cos (5\theta)})^2} = \lim_{\theta \to \pi/2} \frac{\frac{1}{\cos^2 \theta}}{\frac{1}{\cos^2 (5\theta)}} = \lim_{\theta \to \pi/2} \frac{\cos^2 (5\theta)}{\cos^2 \theta} $$ 

Ketika $\theta \to \pi/2$, $\cos \theta \to \cos(\pi/2) = 0$. Juga, ketika $\theta \to \pi/2$, $5\theta \to 5\pi/2$. Nilai $\cos(5\pi/2) = \cos(2\pi + \pi/2) = \cos(\pi/2) = 0$.

Karena kita mendapatkan bentuk $\frac{0}{0}$, ini adalah bentuk tak tentu, sehingga kita bisa menggunakan Aturan L'Hôpital atau substitusi.

Mari kita gunakan substitusi. Misalkan $x = \frac{\pi}{2} - \theta$. Ketika $\theta \to \pi/2$, maka $x \to 0$. Maka $\theta = \frac{\pi}{2} - x$.

Sekarang kita substitusikan $\theta = \frac{\pi}{2} - x$ ke dalam persamaan:
$$ \cos \theta = \cos(\frac{\pi}{2} - x) = \sin x $$ 
$$ \cos (5\theta) = \cos (5(\frac{\pi}{2} - x)) = \cos (\frac{5\pi}{2} - 5x) = \cos (2\pi + \frac{\pi}{2} - 5x) = \cos (\frac{\pi}{2} - 5x) = \sin (5x) $$ 

Jadi, limitnya menjadi:
$$ \lim_{x \to 0} \frac{(\sin (5x))^2}{(\sin x)^2} = \lim_{x \to 0} \left(\frac{\sin (5x)}{\sin x}\right)^2 $$ 

Kita tahu bahwa $\lim_{x \to 0} \frac{\sin(ax)}{\sin(bx)} = \frac{a}{b}$. Dalam kasus ini, $a=5$ dan $b=1$.

$$ \left(\frac{5}{1}\right)^2 = 5^2 = 25 $$ 

Jadi, nilai dari limit tersebut adalah 25.