Nilai dari limit x -> 0 ((1-cos(2x))/(sin x.tan(2x)))=....

Nilai limit = 1

Pembahasan

Untuk menyelesaikan limit ini, kita dapat menggunakan beberapa metode, seperti substitusi langsung, faktorisasi, aturan L'Hopital, atau identitas trigonometri.

Limit yang diberikan adalah: lim (x->0) [(1 - cos(2x)) / (sin(x) * tan(2x))]

Metode 1: Menggunakan identitas trigonometri.
Kita tahu bahwa 1 - cos(2x) = 2 sin^2(x).
Dan tan(2x) = sin(2x) / cos(2x) = (2 sin(x) cos(x)) / cos(2x).

Maka, ekspresi menjadi:
[(2 sin^2(x)) / (sin(x) * (2 sin(x) cos(x) / cos(2x)))]

Sederhanakan ekspresi:
= [2 sin^2(x)] / [2 sin^2(x) cos(x) / cos(2x)]
= [2 sin^2(x) * cos(2x)] / [2 sin^2(x) cos(x)]

Kita bisa membatalkan 2 sin^2(x) (karena x mendekati 0, sin(x) tidak sama dengan 0).
= cos(2x) / cos(x)

Sekarang, substitusikan x = 0 ke dalam ekspresi yang disederhanakan:
= cos(2*0) / cos(0)
= cos(0) / cos(0)
= 1 / 1
= 1.

Metode 2: Menggunakan Aturan L'Hopital (karena substitusi langsung menghasilkan bentuk 0/0).
Bentuk awal: lim (x->0) [(1 - cos(2x)) / (sin(x) * tan(2x))]
Jika x=0, maka 1 - cos(0) = 1 - 1 = 0.
Dan sin(0) * tan(0) = 0 * 0 = 0.
Jadi, kita dapat menggunakan Aturan L'Hopital.

Turunan dari pembilang (1 - cos(2x)) adalah -(-sin(2x) * 2) = 2 sin(2x).

Turunan dari penyebut (sin(x) * tan(2x)). Gunakan aturan perkalian: u = sin(x), v = tan(2x).
Du/dx = cos(x).
Dv/dx = sec^2(2x) * 2 = 2 sec^2(2x).

Maka, turunan penyebut adalah: cos(x) * tan(2x) + sin(x) * (2 sec^2(2x))
= cos(x) * tan(2x) + 2 sin(x) sec^2(2x).

Sekarang, terapkan aturan L'Hopital:
lim (x->0) [2 sin(2x)] / [cos(x) * tan(2x) + 2 sin(x) sec^2(2x)]

Substitusikan x = 0:
Pembilang: 2 sin(0) = 0.
Penyebut: cos(0) * tan(0) + 2 sin(0) sec^2(0)
= 1 * 0 + 2 * 0 * (1/cos(0))^2
= 0 + 0 * (1/1)^2
= 0.

Karena masih menghasilkan bentuk 0/0, kita perlu menerapkan Aturan L'Hopital lagi.

Turunan kedua dari pembilang (2 sin(2x)) adalah 2 * cos(2x) * 2 = 4 cos(2x).

Turunan kedua dari penyebut [cos(x) * tan(2x) + 2 sin(x) sec^2(2x)].
Turunan dari cos(x) * tan(2x):
= -sin(x) tan(2x) + cos(x) * (2 sec^2(2x))
= -sin(x) tan(2x) + 2 cos(x) sec^2(2x).

Turunan dari 2 sin(x) sec^2(2x):
= 2 [cos(x) sec^2(2x) + sin(x) * 2 sec(2x) * (sec(2x) tan(2x) * 2)]
= 2 [cos(x) sec^2(2x) + 4 sin(x) sec^2(2x) tan(2x)].

Jadi, turunan kedua penyebut adalah:
-sin(x) tan(2x) + 2 cos(x) sec^2(2x) + 2 cos(x) sec^2(2x) + 8 sin(x) sec^2(2x) tan(2x)
= -sin(x) tan(2x) + 4 cos(x) sec^2(2x) + 8 sin(x) sec^2(2x) tan(2x).

Sekarang, terapkan aturan L'Hopital lagi:
lim (x->0) [4 cos(2x)] / [-sin(x) tan(2x) + 4 cos(x) sec^2(2x) + 8 sin(x) sec^2(2x) tan(2x)]

Substitusikan x = 0:
Pembilang: 4 cos(0) = 4 * 1 = 4.
Penyebut: -sin(0) tan(0) + 4 cos(0) sec^2(0) + 8 sin(0) sec^2(0) tan(0)
= -0 * 0 + 4 * 1 * (1)^2 + 8 * 0 * (1)^2 * 0
= 0 + 4 + 0
= 4.

Maka, limitnya adalah 4 / 4 = 1.

Kedua metode memberikan hasil yang sama.

Jawaban singkat: Nilai limit adalah 1.