Nilai dari limit x->0 (akar(1+tanx)-akar(1+sinx))/x^3= ...

Nilai limitnya adalah 1/4.

Pembahasan

Untuk mencari nilai limit dari $\frac{\sqrt{1+\tan x}-\sqrt{1+\sin x}}{x^3}$ ketika $x \to 0$, kita dapat menggunakan aturan L'Hopital atau ekspansi deret Taylor. Karena bentuknya adalah 0/0, kita akan gunakan aturan L'Hopital.

Turunan dari pembilang adalah:
$d/dx(\sqrt{1+\tan x}-\sqrt{1+\sin x}) = \frac{1}{2\sqrt{1+\tan x}} \cdot \sec^2 x - \frac{1}{2\sqrt{1+\sin x}} \cdot \cos x$

Turunan dari penyebut adalah:
$d/dx(x^3) = 3x^2$

Menerapkan L'Hopital untuk pertama kali:
$\lim_{x\to0} \frac{\frac{\sec^2 x}{2\sqrt{1+\tan x}} - \frac{\cos x}{2\sqrt{1+\sin x}}}{3x^2}$

Bentuknya masih 0/0, jadi kita terapkan L'Hopital lagi.

Untuk pembilang:
Turunan dari $\frac{\sec^2 x}{2\sqrt{1+\tan x}}$:
$\frac{2\sec x(\sec x \tan x)2\sqrt{1+\tan x} - \sec^2 x \cdot 2 \cdot \frac{1}{2\sqrt{1+\tan x}} \sec^2 x}{4(1+\tan x)}$

Turunan dari $-\frac{\cos x}{2\sqrt{1+\sin x}}$:
$\frac{-\sin x \cdot 2\sqrt{1+\sin x} - \cos x \cdot 2 \cdot \frac{1}{2\sqrt{1+\sin x}} \cos x}{4(1+\sin x)}$

Ini menjadi sangat rumit. Mari kita coba ekspansi deret Taylor di sekitar x=0:
$\tan x = x + \frac{x^3}{3} + ...$
$\sin x = x - \frac{x^3}{6} + ...$

$\sqrt{1+\tan x} \approx \sqrt{1 + x + \frac{x^3}{3}} \approx 1 + \frac{1}{2}(x + \frac{x^3}{3}) - \frac{1}{8}(x + \frac{x^3}{3})^2 + ... \approx 1 + \frac{x}{2} + \frac{x^3}{6} - \frac{x^2}{8} + ...$

$\sqrt{1+\sin x} \approx \sqrt{1 + x - \frac{x^3}{6}} \approx 1 + \frac{1}{2}(x - \frac{x^3}{6}) - \frac{1}{8}(x - \frac{x^3}{6})^2 + ... \approx 1 + \frac{x}{2} - \frac{x^3}{12} - \frac{x^2}{8} + ...$

$\sqrt{1+\tan x} - \sqrt{1+\sin x} \approx (1 + \frac{x}{2} + \frac{x^3}{6} - \frac{x^2}{8}) - (1 + \frac{x}{2} - \frac{x^3}{12} - \frac{x^2}{8}) = \frac{x^3}{6} + \frac{x^3}{12} = \frac{2x^3 + x^3}{12} = \frac{3x^3}{12} = \frac{x^3}{4}$

Jadi, limitnya adalah $\lim_{x\to0} \frac{\frac{x^3}{4}}{x^3} = \frac{1}{4}$.

Cara lain menggunakan L'Hopital dengan Taylor yang lebih ringkas:
$\(1+u)^{1/2} \approx 1 + \frac{1}{2}u - \frac{1}{8}u^2 + ...$
$\	an x = x + \frac{x^3}{3} + O(x^5)$\
$\	an^2 x = (x + \frac{x^3}{3} + ...)^2 = x^2 + O(x^4)$\
$\\\\sqrt{1+\tan x} = (1 + (x + \frac{x^3}{3} + O(x^5)))^{1/2} \approx 1 + \frac{1}{2}(x + \frac{x^3}{3}) - \frac{1}{8}(x)^2 + O(x^4) = 1 + \frac{x}{2} - \frac{x^2}{8} + \frac{x^3}{6} + O(x^4)$\

$\\\sin x = x - \frac{x^3}{6} + O(x^5)$\
$\\\sin^2 x = (x - \frac{x^3}{6} + ...)^2 = x^2 + O(x^4)$\
$\\\sqrt{1+\sin x} = (1 + (x - \frac{x^3}{6} + O(x^5)))^{1/2} \approx 1 + \frac{1}{2}(x - \frac{x^3}{6}) - \frac{1}{8}(x)^2 + O(x^4) = 1 + \frac{x}{2} - \frac{x^2}{8} - \frac{x^3}{12} + O(x^4)$\

$\sqrt{1+\tan x} - \sqrt{1+\sin x} \approx (1 + \frac{x}{2} - \frac{x^2}{8} + \frac{x^3}{6}) - (1 + \frac{x}{2} - \frac{x^2}{8} - \frac{x^3}{12}) = \frac{x^3}{6} + \frac{x^3}{12} = \frac{3x^3}{12} = \frac{x^3}{4}$\

$\lim_{x\to0} \frac{\frac{x^3}{4}}{x^3} = \frac{1}{4}$