Kelas 12Kelas 11mathKalkulus
Nilai dari limit x-> (cos4x-1)/(xtan2x)=...
Pertanyaan
Nilai dari limit $x o 0$ $rac{ ext{cos}(4x) - 1}{x ext{tan}(2x)}$ adalah...
Solusi
Verified
-4
Pembahasan
Untuk menghitung nilai limit $\\$ ext{lim}_{x o 0} rac{ ext{cos}(4x) - 1}{x ext{tan}(2x)}$, kita dapat menggunakan beberapa metode, salah satunya adalah menggunakan aturan L'Hôpital atau identitas trigonometri. Metode 1: Aturan L'Hôpital Karena jika kita substitusi $x=0$, kita akan mendapatkan bentuk tak tentu $rac{0}{0}$ ($ ext{cos}(0)-1 = 1-1=0$ dan $0 imes ext{tan}(0) = 0 imes 0 = 0$), kita bisa menggunakan aturan L'Hôpital. Turunan dari pembilang: $rac{d}{dx}( ext{cos}(4x) - 1) = -4 ext{sin}(4x)$ Turunan dari penyebut: $rac{d}{dx}(x ext{tan}(2x)) = 1 imes ext{tan}(2x) + x imes (2 ext{sec}^2(2x)) = ext{tan}(2x) + 2x ext{sec}^2(2x)$ Maka limitnya menjadi: $\\$ ext{lim}_{x o 0} rac{-4 ext{sin}(4x)}{ ext{tan}(2x) + 2x ext{sec}^2(2x)}$ Substitusi $x=0$ lagi: $rac{-4 ext{sin}(0)}{ ext{tan}(0) + 2(0) ext{sec}^2(0)} = rac{-4(0)}{0 + 0} = rac{0}{0}$ Kita gunakan L'Hôpital lagi. Turunan dari pembilang: $rac{d}{dx}(-4 ext{sin}(4x)) = -16 ext{cos}(4x)$ Turunan dari penyebut: $rac{d}{dx}( ext{tan}(2x) + 2x ext{sec}^2(2x)) = 2 ext{sec}^2(2x) + (2 ext{sec}^2(2x) + 2x imes 2 ext{sec}(2x) imes ( ext{sec}(2x) ext{tan}(2x)) imes 2) = 2 ext{sec}^2(2x) + 2 ext{sec}^2(2x) + 8x ext{sec}^2(2x) ext{tan}(2x) = 4 ext{sec}^2(2x) + 8x ext{sec}^2(2x) ext{tan}(2x)$ Maka limitnya menjadi: $\\$ ext{lim}_{x o 0} rac{-16 ext{cos}(4x)}{4 ext{sec}^2(2x) + 8x ext{sec}^2(2x) ext{tan}(2x)}$ Substitusi $x=0$: $rac{-16 ext{cos}(0)}{4 ext{sec}^2(0) + 8(0) ext{sec}^2(0) ext{tan}(0)} = rac{-16(1)}{4(1)^2 + 0} = rac{-16}{4} = -4$ Metode 2: Identitas Trigonometri Gunakan identitas $ ext{cos}(2 heta) = 1 - 2 ext{sin}^2( heta)$, sehingga $ ext{cos}(4x) = 1 - 2 ext{sin}^2(2x)$. Maka $ ext{cos}(4x) - 1 = -2 ext{sin}^2(2x)$. Juga gunakan $ ext{tan}(2x) = rac{ ext{sin}(2x)}{ ext{cos}(2x)}$. Limit menjadi: $\\$ ext{lim}_{x o 0} rac{-2 ext{sin}^2(2x)}{x rac{ ext{sin}(2x)}{ ext{cos}(2x)}} = ext{lim}_{x o 0} rac{-2 ext{sin}^2(2x) ext{cos}(2x)}{x ext{sin}(2x)}$ $= ext{lim}_{x o 0} rac{-2 ext{sin}(2x) ext{cos}(2x)}{x} imes ext{lim}_{x o 0} ext{cos}(2x)$ Karena $ ext{lim}_{x o 0} ext{cos}(2x) = ext{cos}(0) = 1$, kita fokus pada bagian pertama: $= ext{lim}_{x o 0} rac{-2 ext{sin}(2x)}{x} imes ext{lim}_{x o 0} ext{cos}(2x)$ Kita tahu bahwa $\\$ ext{lim}_{u o 0} rac{ ext{sin}(u)}{u} = 1$. Agar sesuai, kita kalikan dan bagi dengan 2: $= ext{lim}_{x o 0} rac{-2 imes 2 rac{ ext{sin}(2x)}{2x}}{1} imes ext{lim}_{x o 0} ext{cos}(2x)$ $= -4 imes ext{lim}_{x o 0} rac{ ext{sin}(2x)}{2x} imes ext{lim}_{x o 0} ext{cos}(2x)$ $= -4 imes 1 imes 1 = -4$ Jadi, nilai dari limit tersebut adalah -4.
Buka akses pembahasan jawaban
Topik: Limit Fungsi
Section: Limit Trigonometri
Apakah jawaban ini membantu?