Nilai dari limit x-> (cos4x-1)/(xtan2x)=...

-4

Pembahasan

Untuk menghitung nilai limit $\\$ 	ext{lim}_{x 	o 0} rac{	ext{cos}(4x) - 1}{x 	ext{tan}(2x)}$, kita dapat menggunakan beberapa metode, salah satunya adalah menggunakan aturan L'Hôpital atau identitas trigonometri.

Metode 1: Aturan L'Hôpital
Karena jika kita substitusi $x=0$, kita akan mendapatkan bentuk tak tentu $rac{0}{0}$ ($	ext{cos}(0)-1 = 1-1=0$ dan $0 	imes 	ext{tan}(0) = 0 	imes 0 = 0$), kita bisa menggunakan aturan L'Hôpital.
Turunan dari pembilang: $rac{d}{dx}(	ext{cos}(4x) - 1) = -4	ext{sin}(4x)$
Turunan dari penyebut: $rac{d}{dx}(x 	ext{tan}(2x)) = 1 	imes 	ext{tan}(2x) + x 	imes (2	ext{sec}^2(2x)) = 	ext{tan}(2x) + 2x	ext{sec}^2(2x)$

Maka limitnya menjadi: $\\$ 	ext{lim}_{x 	o 0} rac{-4	ext{sin}(4x)}{	ext{tan}(2x) + 2x	ext{sec}^2(2x)}$
Substitusi $x=0$ lagi:
$rac{-4	ext{sin}(0)}{	ext{tan}(0) + 2(0)	ext{sec}^2(0)} = rac{-4(0)}{0 + 0} = rac{0}{0}$
Kita gunakan L'Hôpital lagi.
Turunan dari pembilang: $rac{d}{dx}(-4	ext{sin}(4x)) = -16	ext{cos}(4x)$
Turunan dari penyebut: $rac{d}{dx}(	ext{tan}(2x) + 2x	ext{sec}^2(2x)) = 2	ext{sec}^2(2x) + (2	ext{sec}^2(2x) + 2x 	imes 2	ext{sec}(2x) 	imes (	ext{sec}(2x)	ext{tan}(2x)) 	imes 2) = 2	ext{sec}^2(2x) + 2	ext{sec}^2(2x) + 8x	ext{sec}^2(2x)	ext{tan}(2x) = 4	ext{sec}^2(2x) + 8x	ext{sec}^2(2x)	ext{tan}(2x)$
Maka limitnya menjadi: $\\$ 	ext{lim}_{x 	o 0} rac{-16	ext{cos}(4x)}{4	ext{sec}^2(2x) + 8x	ext{sec}^2(2x)	ext{tan}(2x)}$
Substitusi $x=0$:
$rac{-16	ext{cos}(0)}{4	ext{sec}^2(0) + 8(0)	ext{sec}^2(0)	ext{tan}(0)} = rac{-16(1)}{4(1)^2 + 0} = rac{-16}{4} = -4$

Metode 2: Identitas Trigonometri
Gunakan identitas $	ext{cos}(2	heta) = 1 - 2	ext{sin}^2(	heta)$, sehingga $	ext{cos}(4x) = 1 - 2	ext{sin}^2(2x)$. Maka $	ext{cos}(4x) - 1 = -2	ext{sin}^2(2x)$.
Juga gunakan $	ext{tan}(2x) = rac{	ext{sin}(2x)}{	ext{cos}(2x)}$.
Limit menjadi: $\\$ 	ext{lim}_{x 	o 0} rac{-2	ext{sin}^2(2x)}{x rac{	ext{sin}(2x)}{	ext{cos}(2x)}} = 	ext{lim}_{x 	o 0} rac{-2	ext{sin}^2(2x)	ext{cos}(2x)}{x 	ext{sin}(2x)}$
$= 	ext{lim}_{x 	o 0} rac{-2	ext{sin}(2x)	ext{cos}(2x)}{x} 	imes 	ext{lim}_{x 	o 0} 	ext{cos}(2x)$
Karena $	ext{lim}_{x 	o 0} 	ext{cos}(2x) = 	ext{cos}(0) = 1$, kita fokus pada bagian pertama:
$= 	ext{lim}_{x 	o 0} rac{-2	ext{sin}(2x)}{x} 	imes 	ext{lim}_{x 	o 0} 	ext{cos}(2x)$
Kita tahu bahwa $\\$ 	ext{lim}_{u 	o 0} rac{	ext{sin}(u)}{u} = 1$. Agar sesuai, kita kalikan dan bagi dengan 2:
$= 	ext{lim}_{x 	o 0} rac{-2 	imes 2 rac{	ext{sin}(2x)}{2x}}{1} 	imes 	ext{lim}_{x 	o 0} 	ext{cos}(2x)$
$= -4 	imes 	ext{lim}_{x 	o 0} rac{	ext{sin}(2x)}{2x} 	imes 	ext{lim}_{x 	o 0} 	ext{cos}(2x)$
$= -4 	imes 1 	imes 1 = -4$

Jadi, nilai dari limit tersebut adalah -4.