Selesaikan SPLDV berikut dengan menggunakan metode invers

SPLDV tersebut tidak memiliki solusi karena matriks koefisiennya memiliki determinan nol dan kedua persamaan saling bertentangan.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV) berikut dengan menggunakan metode invers dan metode Cramer:

{3x + 5y = 15
 6x + 10y = -30
}

**Langkah 1: Mengubah SPLDV ke dalam bentuk matriks.**
Bentuk umum SPLDV Ax + By = C dapat ditulis sebagai:
$ \begin{pmatrix} A & B \\ D & E \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} C \\ F \end{pmatrix} $

Dalam kasus ini:
$ \begin{pmatrix} 3 & 5 \\ 6 & 10 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 15 \\ -30 \end{pmatrix} $

Mari kita sebut matriks koefisien sebagai A, matriks variabel sebagai X, dan matriks konstanta sebagai B:
$ A = \begin{pmatrix} 3 & 5 \\ 6 & 10 \end{pmatrix}, X = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}, B = \begin{pmatrix} 15 \\ -30 \end{pmatrix} $

Maka, persamaannya adalah AX = B.

**Langkah 2: Menggunakan Metode Invers.**
Untuk mencari X, kita gunakan rumus $X = A^{-1}B$.

Pertama, hitung determinan matriks A (det(A)):
det(A) = (3 * 10) - (5 * 6) = 30 - 30 = 0.

Karena determinan matriks A adalah 0, matriks A tidak memiliki invers ($A^{-1}$). Ini berarti SPLDV ini tidak memiliki solusi tunggal. SPLDV dengan determinan matriks koefisien 0 biasanya memiliki dua kemungkinan:
1.  Tidak memiliki solusi (inkonsisten).
2.  Memiliki tak hingga banyak solusi (konsisten).

Untuk menentukan kasusnya, kita bisa mencoba menyederhanakan persamaan atau melihat hubungan antar persamaan.

Jika kita perhatikan persamaan kedua (6x + 10y = -30) dan membaginya dengan 2, kita mendapatkan 3x + 5y = -15. Ini bertentangan dengan persamaan pertama (3x + 5y = 15). Karena kedua persamaan menghasilkan nilai yang berbeda untuk ekspresi yang sama (3x + 5y), maka sistem ini tidak konsisten dan tidak memiliki solusi.

**Langkah 3: Menggunakan Metode Cramer.**
Metode Cramer juga bergantung pada determinan matriks koefisien. Rumus untuk metode Cramer adalah:
$ x = \frac{\det(A_x)}{\det(A)} $ dan $ y = \frac{\det(A_y)}{\det(A)} $

Di mana $A_x$ adalah matriks A dengan kolom pertama diganti oleh matriks konstanta B, dan $A_y$ adalah matriks A dengan kolom kedua diganti oleh matriks konstanta B.

Karena $\det(A) = 0$, metode Cramer tidak dapat digunakan secara langsung untuk menemukan solusi tunggal, karena kita akan mengalami pembagian dengan nol.

Sama seperti metode invers, hasil $\det(A) = 0$ menunjukkan bahwa tidak ada solusi tunggal.

**Kesimpulan:**
SPLDV {3x + 5y = 15
 6x + 10y = -30
} tidak memiliki solusi karena kedua persamaan tersebut saling bertentangan (salah satunya jika dikalikan dua menjadi 6x + 10y = 30, yang berbeda dari persamaan kedua 6x + 10y = -30). Dengan kata lain, sistem ini adalah sistem yang tidak konsisten.