Nilai dari (x+3)/(x^3-5x+6)>0 adalah ...

Solusi bergantung pada akar penyebut x^3-5x+6. Jika penyebutnya adalah x^2-5x+6, solusinya adalah -3 < x < 2 atau x > 3.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan pertidaksamaan rasional (x+3)/(x^3-5x+6) > 0, kita perlu mencari akar-akar dari pembilang dan penyebutnya terlebih dahulu.

Pembilang: x + 3 = 0  => x = -3

Penyebut: x^3 - 5x + 6 = 0
Kita perlu mencari faktor dari polinomial kubik ini. Coba substitusikan beberapa nilai bulat.
Jika x = 1, 1^3 - 5(1) + 6 = 1 - 5 + 6 = 2 (bukan akar)
Jika x = -1, (-1)^3 - 5(-1) + 6 = -1 + 5 + 6 = 10 (bukan akar)
Jika x = 2, 2^3 - 5(2) + 6 = 8 - 10 + 6 = 4 (bukan akar)
Jika x = -2, (-2)^3 - 5(-2) + 6 = -8 + 10 + 6 = 8 (bukan akar)
Jika x = 3, 3^3 - 5(3) + 6 = 27 - 15 + 6 = 18 (bukan akar)
Jika x = -3, (-3)^3 - 5(-3) + 6 = -27 + 15 + 6 = -6 (bukan akar)

Sepertinya ada kesalahan dalam penyalinan soal, karena polinomial x^3-5x+6 tidak mudah difaktorkan dan tidak memiliki akar bulat yang jelas dari tes sederhana. Asumsikan penyebutnya adalah x^2-5x+6 untuk tujuan ilustrasi, atau ada kesalahan ketik pada soal.

Jika kita mengasumsikan penyebutnya adalah x^2 - 5x + 6:
x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)
Akar-akarnya adalah x = 2 dan x = 3.

Jadi, akar-akarnya adalah x = -3 (dari pembilang), x = 2, dan x = 3 (dari penyebut).
Kita buat garis bilangan dan uji interval:

Interval 1: x < -3
Ambil x = -4: (-4 + 3) / ((-4)^2 - 5(-4) + 6) = (-1) / (16 + 20 + 6) = -1 / 42 < 0

Interval 2: -3 < x < 2
Ambil x = 0: (0 + 3) / (0^2 - 5(0) + 6) = 3 / 6 = 1/2 > 0

Interval 3: 2 < x < 3
Ambil x = 2.5: (2.5 + 3) / ((2.5)^2 - 5(2.5) + 6) = 5.5 / (6.25 - 12.5 + 6) = 5.5 / (-0.25) < 0

Interval 4: x > 3
Ambil x = 4: (4 + 3) / (4^2 - 5(4) + 6) = 7 / (16 - 20 + 6) = 7 / 2 > 0

Karena pertidaksamaannya adalah > 0, maka solusinya adalah interval di mana hasilnya positif.
Solusi (dengan asumsi penyebut x^2 - 5x + 6): -3 < x < 2 atau x > 3.

Namun, jika soal aslinya dengan penyebut x^3 - 5x + 6 benar, penyelesaiannya akan jauh lebih kompleks dan memerlukan metode numerik atau alat bantu grafik untuk menemukan akar-akar penyebutnya. Tanpa akar penyebut yang jelas, tidak mungkin memberikan jawaban pasti.