Nilai lim x->0 (cos 4x-1)/(x tan 2x)= ....

-4

Pembahasan

Untuk menyelesaikan limit lim x→0 (cos 4x - 1) / (x tan 2x), kita dapat menggunakan beberapa metode, termasuk substitusi langsung, identitas trigonometri, atau aturan L'Hôpital. Dalam kasus ini, kita akan menggunakan identitas trigonometri dan sifat limit.

Langkah-langkah:
1.  **Substitusi Langsung:** Jika kita substitusikan x = 0, kita mendapatkan (cos 0 - 1) / (0 * tan 0) = (1 - 1) / (0 * 0) = 0/0, yang merupakan bentuk tak tentu. Ini berarti kita perlu menyederhanakan ekspresi tersebut.
2.  **Gunakan Identitas Trigonometri:** Gunakan identitas cos(2θ) = 1 - 2sin^2(θ). Maka, cos(4x) = 1 - 2sin^2(2x).
    Jadi, cos(4x) - 1 = (1 - 2sin^2(2x)) - 1 = -2sin^2(2x).
3.  **Substitusi Kembali ke Limit:**
    lim x→0 (-2sin^2(2x)) / (x tan 2x)
4.  **Ubah tan 2x:** Gunakan tan(θ) = sin(θ)/cos(θ).
    lim x→0 (-2sin^2(2x)) / (x * (sin 2x / cos 2x))
5.  **Sederhanakan Ekspresi:**
    lim x→0 (-2sin^2(2x) * cos 2x) / (x sin 2x)
    Kita bisa membatalkan satu sin 2x dari pembilang dan penyebut:
    lim x→0 (-2sin 2x * cos 2x) / x
6.  **Gunakan Sifat Limit:** Kita tahu bahwa lim θ→0 (sin θ)/θ = 1.
    Kita bisa menulis ulang ekspresi tersebut untuk memanfaatkan sifat ini:
    lim x→0 (-2 * (sin 2x / x) * cos 2x)
    Kita perlu bentuk (sin 2x) / (2x). Kalikan dan bagi dengan 2 di dalam kurung:
    lim x→0 (-2 * (sin 2x / 2x) * 2 * cos 2x)
    = lim x→0 (-4 * (sin 2x / 2x) * cos 2x)
7.  **Evaluasi Limit:** Sekarang kita bisa mengevaluasi limitnya:
    Saat x→0, (sin 2x / 2x) → 1 dan cos 2x → cos 0 = 1.
    Jadi, limitnya adalah -4 * 1 * 1 = -4.

Dengan menggunakan aturan L'Hôpital sebagai alternatif:
Turunkan pembilang: d/dx (cos 4x - 1) = -4sin 4x
Turunkan penyebut: d/dx (x tan 2x) = (1 * tan 2x) + (x * sec^2(2x) * 2) = tan 2x + 2x sec^2(2x)

Sekarang evaluasi limit dari hasil turunan:
lim x→0 (-4sin 4x) / (tan 2x + 2x sec^2(2x))
Substitusikan x = 0:
(-4sin 0) / (tan 0 + 2*0*sec^2(0))
= (-4 * 0) / (0 + 0 * 1^2)
= 0 / 0
Karena masih 0/0, kita terapkan L'Hôpital lagi:

Turunkan pembilang: d/dx (-4sin 4x) = -16cos 4x
Turunkan penyebut: d/dx (tan 2x + 2x sec^2(2x))
   = 2sec^2(2x) + [ (2 * sec^2(2x)) + (2x * 2sec(2x) * sec(2x) * tan(2x) * 2) ]
   = 2sec^2(2x) + 2sec^2(2x) + 8x sec^2(2x) tan(2x)
   = 4sec^2(2x) + 8x sec^2(2x) tan(2x)

Evaluasi limit dari hasil turunan kedua:
lim x→0 (-16cos 4x) / (4sec^2(2x) + 8x sec^2(2x) tan(2x))
Substitusikan x = 0:
(-16cos 0) / (4sec^2(0) + 8*0*sec^2(0)*tan(0))
= (-16 * 1) / (4 * 1^2 + 0)
= -16 / 4
= -4

Jadi, nilai dari lim x→0 (cos 4x - 1) / (x tan 2x) adalah -4.